\section{信号与系统}

信号与系统的两个基本共同点：
\begin{enum}
    \item 作为一个或几个独立变量函数的信号包含了有关某些现象性质的信息
    \item 系统对给定信号做出响应，产生其他信号或某些所需特性
    \item 分析已有系统的响应
    \item 设计新系统：增晰/恢复信号、提取特征
\end{enum}


\subsection{基本概念与定义}

一维确知信号：可表示成一个自变量的函数，通常为时间\\
连续时间信号：自变量为连续时间 \(t\)，表示为 \(x(t)\)\\
离散时间信号：自变量为离散时间 \(n\)，表示为 \(x[n]\)，也可称为序列

\begin{quote}
离散时间信号的值域可以是连续的，连续时间信号的值域可以是离散的

通常将信号 $x$ 取为复数
\end{quote}

连续时间信号 $x(t)$ 在 $t_1\le t\le t_2$ 区间的能量与平均功率定义为：
\begin{align*}
    &E=\int_{t_1}^{t_2}\big|x(t)\big|^2 \,\mathrm dt,
    &P=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\big|x(t)\big|^2 \,\mathrm dt
\end{align*}


离散时间信号 $x[n]$ 在 $n_1\le n\le n_2$ 区间的能量与平均能量定义为：
\begin{align*}
    &E=\sum_{n=n_1}^{n_2}\big|x[n]\big|^2,
    &P=\frac{1}{n_2-n_1+1}\sum_{n=n_1}^{n_2}\big|x[n]\big|^2
\end{align*}


在\emph{无限}无限区间上的定义：
\begin{align*}
    &E=\lim_{\tau\to\infty}\int_{-\tau}^{\tau}\big|x(t)\big|^2\,\mathrm dt,
    &P&=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-\tau}^{\tau}\big|x(t)\big|^2\,\mathrm dt\\
    &E=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{N}\big|x[n]\big|^2,
    &P&=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\big|x[n]\big|^2
\end{align*}

依据能量与功率区分三种信号：
\begin{enum}
    \item 有限的总能量：\(E_{\infty}<\infty\;\;\Longrightarrow\;\; P_{\infty}=0\)
    \item 有限平均功率：\(0<P_{\infty}<\infty\;\;\Longrightarrow\;\; E_{\infty}=\infty\)
    \item 能量与功率均不是有限的
\end{enum}

\subsection{信号的性质与变换}


\subsubsection{周期信号}
若存在正实数 $T$ 使得下式对所有 $t$ 成立，则 $T$ 称为 $x(t)$ 的周期\\
若存在正整数 $N$ 使得下式对所有 $n$ 成立，则 $n$ 称为 $x(n)$ 的周期
\begin{align*}
    x(t) &= x(t+kT), \qquad k\in\mathbb Z\\
    x[n] &= x[n+kN], \qquad k\in\mathbb Z
\end{align*}

满足上式的最小 $T_0,N_0$ 称为\emph{基波周期}，定义\emph{基波频率} $f_0$ 与\emph{基波角频率} $\Omega_0$
\begin{align*}
    f_0 &= \frac{1}{T_0} &
    \omega_0 &= 2\pi f = \frac{2\pi}{T_0}
\end{align*}

\begin{quote}
    连续时间恒定信号 $x(t)={\rm const}$ 是周期信号，但不存在基波周期\\
    离散时间恒定信号 $x[n]={\rm const}$ 是周期信号，基波周期为 $1$

    对于连续时间恒定信号，有时也认为 $f_0=0$，这时一般不讨论 $T_0$ 
\end{quote}

周期信号在任意一段长度为 $T_0,N_0$ 的时间段内的积分/求和都相等

\subsubsection{奇信号与偶信号}
偶信号：
\[
    x[n] = x[-n],\qquad x(t)=x(-t)
\]

奇信号：
\[
    x[n] = -x[-n],\qquad x(t)=-x(-t)
\]

任意信号分解为偶部与奇部：
\begin{align*}
    x(t) &= \frac{x(t)+x(-t)}{2} + \frac{x(t)-x(-t)}{2}\\
    x[n] &= \frac{x[n]+x[-n]}{2} + \frac{x[n]-x[-n]}{2}
\end{align*}

\subsubsection{关于自变量的变换}

连续信号变换
\begin{enum}
    \item 时移变换 \(x(t)\longrightarrow x(t-t_0)\) 图像右移 \(t_0\)
    \item 反转变换 \(x(t)\longrightarrow x(-t)\) 图像对纵轴镜像反转
    \item 尺度变换 \(x(t)\longrightarrow x(at)\) 进行 \(a\)倍速播放，图像横向压缩为原来的 \(1/a\) 倍
\end{enum}

离散信号变换
\begin{enum}
    \item 时移变换
    \item 反转变换
    \item 尺度变换（抽取）：$x[n]\to x[kn],\;k\ge 1$
    \item 尺度变换（插值）
\end{enum}

\subsection{基本信号类型}

\subsubsection{连续时间指数信号与正弦信号}

连续时间指数信号的一般形式：\(x(t) = C\mathrm e^{at}\)，
根据参数值性质不同分为以下类型：
\begin{enum}
    \item 实指数信号（衰减/增益）：实指数，并要求系数 $C\in\mathbb R$\\
          信号值总是与 $C$ 同号，无零点
    \item 周期性复指数信号（振荡）：虚指数，常记为 $x(t) = \mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0t}$\\
          周期性复指数信号以 $T_0 = 2\pi/|\omega_0|$ 为基波周期振荡\\
          利用欧拉关系构造正余弦信号：
    \[
        A \cos(\omega_0t+\varphi) = \frac{A\mathrm e^{\,\mathrm j\varphi}\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0t} 
        + A\mathrm e^{-\mathrm j\varphi}\mathrm e^{-\mathrm j\omega_0t}}{2}
    \]
    可以知道，连续正弦信号的周期与它所对应的连续周期复指数信号的周期相同

    \begin{quote}
        谐波：一组周期复指数信号具有公共的周期 $T_0$ 则称它们成谐波关系
        \[
            \mathrm e^{\,\mathrm j\omega T_0} = 1 
            \qquad\Longrightarrow\qquad 
            \omega = \frac{2k\pi}{T_0} = k\omega_0
        \]
        也就是说，一组周期复指数信号谐波的基波频率为某频率 $f_0$ 的整数倍
    \end{quote}

    \item 一般复指数信号：实指数信号 $\times$ 周期性复指数信号，衰减/增益+振荡\\
        示意图如图 \ref{fig:一般复指数信号示意图} 所示
\end{enum}

\begin{figure}[H]
    \centering 
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height=4cm, width=8cm,
            title={$x(t) = C\mathrm e^{rt}\cos(\omega_0t+\theta),\;r>0$}
        ]
            \addplot[domain=-2:2, gray, dashed] {exp(x)};
            \addplot[domain=-2:2, gray, dashed] {-exp(x)};
            \addplot[samples=200, domain=-2:2, blue] {exp(x)*cos(deg(10*x+1))};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{5pt}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height=4cm, width=8cm,
            title={$x(t) = C\mathrm e^{rt}\cos(\omega_0t+\theta),\;r<0$}
        ]
            \addplot[domain=-2:2, gray, dashed] {exp(-x)};
            \addplot[domain=-2:2, gray, dashed] {-exp(-x)};
            \addplot[samples=200, domain=-2:2, blue] {exp(-x)*cos(deg(10*x+1))};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{一般复指数信号实部示意图}
    \label{fig:一般复指数信号示意图}
\end{figure}

\subsubsection{离散时间指数信号与正弦信号}
离散时间指数信号的一般形式：\(x[n]=C\mathrm e^{\beta n}=C\alpha^n\)
\begin{enum}
    \item 实指数信号：只要求函数值为实数即可，注意此时底数不局限于 $\mathbb R^+$\\
        因此离散时间实指数信号是正负振荡的\emph{实数等比数列}
    \item 离散正弦信号：$x[n] = \mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0n}$，$x[n] = A\cos(\omega_0n+\theta)$\\
          注意其周期性不一定存在
    \item 一般复指数信号：
    \(
        x[n] = |C||\alpha|^n\big[\cos(\omega_0n+\theta)+ \mathrm j\sin(\omega_0 n+\theta)\big]
    \)
\end{enum}


\paragraph{离散时间复指数序列的周期性质}
对于离散时间指数信号 \(x[n]=\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0 n}\)：

\begin{enum}

\item 并不是所有 $\omega_0$ 都使 $\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0n}$ 有周期性。
若其周期为 $N$，则：
\[
    \mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0(n+N)} 
    = \mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0 n}
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    \mathrm j\omega_0N=2m\pi\mathrm j
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    \boxed{
        \frac{\omega_0}{2\pi} =\frac mN\in\mathbb Q,\quad
        N = \frac{2\pi}{\omega_0} \cdot m
    }
\]
若 $\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0n}$ 有周期性，
则基波周期取最小的 $N\in \mathbb Z^+$，
也就是取最小的 $|m|\in\mathbb Z^+$ 使得 $N$ 为正整数 \\
这等价于 $m$ 与 $N$ 无公因子


\item 并不是 $\omega_0$ 越大振荡频率越高\\
{\unifont ⮞} 首先，$\omega_0$ 与 $\omega_0+2k\pi$ 对应相同信号频率，
以 $\omega_0$ 为变量则信号频率以 $2\pi$ 为周期变化
\[
    \mathrm e^{\,\mathrm j(\omega_0+2\pi)n} = 
    \mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0n}\\
\]
{\unifont ⮞} 其次，在 $\omega_0=2k\pi$ 处振荡频率最小（常值信号），
在 $\omega_0 = (2k+1)\pi$ 处振荡频率最大（周期为2）
\[
    \mathrm e^{\,\mathrm j(2k\pi)n} =1,
    \qquad
    \mathrm e^{\,\mathrm j(2k\pi+\pi)n} = (\mathrm e^{\,\mathrm j\pi})^n = (-1)^n
\]
当 $\omega_0$ 在 $[0,2\pi]$ 内取值时离散正弦序列振荡频率对比
如图 \ref{fig:ω取不同值时的离散时间正弦序列的振荡频率对比} 所示，
可以看到振荡频率先增大后减小
\end{enum}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \input{figures/fig_ω取不同值时的离散时间正弦序列的振荡频率对比.tex}
    \caption{$\omega_0$ 取不同值时的离散时间正弦序列的振荡频率对比}
    \label{fig:ω取不同值时的离散时间正弦序列的振荡频率对比}
\end{figure}

\begin{table}[H]
    \centering
    \caption{信号 $\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0t}$ 与 $\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0n}$ 的比较总结}
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
        \hline 
                 & $\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0t}$ & $\mathrm e^{\,\mathrm j\omega_0n}$\\
        \hline
        信号异同 & $\omega_0$ 不同则信号不同 & $\omega_0$ 与 $\omega_0+2k\pi$ 对应相同信号 \\
        \hline 
        周期性   & 对任何 $\omega_0$ 为周期信号 & 仅 $\omega_0/2\pi \in\mathbb Q$ 时为周期信号\\
        \hline 
        基波频率 & $\omega_0$      &  $\omega_0/m$ \\
        \hline
        基波周期 & $2\pi/\omega_0$ & $\min\big\{{2m\pi}/{\omega_0}\in\mathbb Z^+\big\}$ \\
        \hline
        \multicolumn{3}{l}{\itshape *对于离散信号的基波频率与周期假定 $m$ 与 $N$ 无公因子}
    \end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{离散时间单位脉冲与阶跃序列}

离散时间单位脉冲序列 $\delta[n]$ 与阶跃序列 $u[n]$ 的示意图如图 \ref{fig:离散时间单位脉冲与阶跃序列示意图} 所示
\begin{align*}
    &\delta[n] = 
    \begin{cases}
        0, &n\ne 0\\
        1, &n=0
    \end{cases}
    &u[n] = 
    \begin{cases}
        0, &n<0\\
        1, &n\ge 0\\
    \end{cases}
\end{align*}


\begin{figure}[htbp]
    \centering 
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height=4cm, width=8cm,
            title={\itshape\small 离散时间单位脉冲序列 $\delta[n]$}
        ]
        \addplot+[ycomb,blue, domain=-5:5,samples at={-5,...,-1,1,2,3,4,5}]{0};
        \addplot+[ycomb, blue, domain=-5:5,samples at={0}]{1};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{5pt}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height=4cm, width=8cm,
            title={\itshape\small 离散时间单位阶跃序列 $u[n]$}
        ]
        \addplot+[ycomb,blue, domain=-5:5,samples at={-5,...,-1}]{0};
        \addplot+[ycomb, blue, domain=-5:5,samples at={0,1,...,5}]{1};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{离散时间单位脉冲与阶跃序列示意图}
    \label{fig:离散时间单位脉冲与阶跃序列示意图}
\end{figure}

对 $u[n]$ 做一次差分得到 $\delta[n]$：
\begin{align*}
    &\delta[n] = u[n] - u[n-1],
\end{align*}

对 $\delta[n]$ 求和得到 $u[n]$\\
第一式利用两者函数取值的性质，第二式利用延时
\begin{align*}
    u[n] &= \sum_{m=-\infty}^n\delta[m] &
    u[n] &= \sum_{k=0}^{+\infty} \delta[n-k]
\end{align*}

\subsubsection{连续时间单位冲激函数与阶跃函数}
连续时间单位阶跃函数与单位冲激函数的定义
\begin{align*}
    &u(t) = 
    \begin{cases}
        0, &t<0\\
        1, &t>0\\
    \end{cases},&
    &\delta(t) = \begin{cases}
        0, &t\ne 0\\
        \infty, &t=0
    \end{cases}, &
    &\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,\mathrm dt=1
\end{align*}

单位阶跃函数与单位冲激函数的关系：
\begin{align*} 
    &\delta(t)  = \frac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt},&
    &u(t) = \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,\mathrm d\tau 
    = \int_0^{+\infty}\delta(t-\tau)\,\mathrm d\tau 
\end{align*}

单位冲激函数 $\delta(t)$ 的性质：
\begin{enum}
    \item 奇偶性：$\delta(t)=\delta(-t)$
    \item 缩放性：$\delta(at) = \delta(t)/|a|$
            \[
                \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(at) \,\mathrm dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\delta(\tau)}{|a|}\,\mathrm d\tau
            \] 
    \item 筛选性：$x(t)*\delta(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,\delta(\tau - t)\,\mathrm d\tau=x(t)$
    \item 延时性：$x(t)*\delta(t-t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\, \delta(\tau-t+t_0)\,\mathrm d\tau = x(t-t_0)$
    \item 加权性：$f(t)\,\delta(t-t_0) = f(t_0)\,\delta(t-t_0)$
\end{enum}

\begin{quote}
    $\delta(t)\,\mathrm dt$ 与 $\delta[n]$ 相对应
\end{quote}


\subsection{系统的互联}
级联、并联以及二者的混合，反馈互联（示意图如图 \ref{fig:系统的级联、并联、反馈互联示意图} 所示）
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=14cm]{figures/系统的级联并联反馈.pdf}
    \caption{系统的级联、并联、反馈互联示意图}
    \label{fig:系统的级联、并联、反馈互联示意图}
\end{figure}


\subsection{基本系统性质}
\subsubsection{记忆系统}
无记忆系统：系统当前时刻的输出与其他时刻的输入无关（输出可为常数）\\
也就是说，$y[n]$ 的值最多只与 $x[n]$ 有关，而与 $x[n-1],y[n-1]$ 等项无关

\begin{quote}
    对于以 $x(t)$ 为输入的系统 $y(t)=x(\sin(t))$，它看似输出只与时间有关而输入 $x(t)$ 无关紧要，
    但实际上其输出值是其它时刻的输入值的记忆储存，因此输入 $x(t)$ 是必要的
    \begin{center}
        \includegraphics[width=12cm]{figures/记忆系统图示.pdf}  
    \end{center}
\end{quote}


\subsubsection{可逆系统}
若某系统对两个不同的输入 $x_1\ne x_2$ 给出了相同的输出 $y$，则该系统不可逆\\
若某系统可逆，则存在\emph{逆系统}，使得两者级联后输入等于输出

\begin{quote}
    $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[n]$ 的逆系统为 $w[n] = y[n] - y[n-1]$ \\
    $y(t)=0$ 是不可逆系统
\end{quote}

若 B 是 A 的逆系统，则 A 可逆，而 B 不一定可逆\\
如图 \ref{fig:可逆系统的逆系统不一定是可逆系统} 左侧是可逆的，右侧为其逆系统且不可逆

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \node (A) at (0,0) {$x_1$};
        \draw[-latex] (A) -- (2, 1) node[right] {$y_1$};
        \draw[-latex] (A) -- (2, 0) node[right] {$y_2$};
        \draw[-latex] (A) -- (2,-1) node[right] {$y_3$};
    \end{tikzpicture}
    \hspace{10pt}
    \begin{tikzpicture}
        \node (A) at (2,0) {$x_1$};
        \draw[-latex] (0, 1) node[left] {$y_1$} -- (A);
        \draw[-latex] (0, 0) node[left] {$y_2$} -- (A);
        \draw[-latex] (0,-1) node[left] {$y_3$} -- (A);
    \end{tikzpicture}
    \caption{可逆系统的逆系统不一定是可逆系统}
    \label{fig:可逆系统的逆系统不一定是可逆系统}
\end{figure}



\subsubsection{因果系统}
若某系统在任何时刻的输出只取决于现在及过去的输入，则称该系统为因果系统\\
无记忆系统均为因果系统

\begin{quote}
    $y(t) = x(-t)$ 不是因果系统，例如 $y(-4) = x(4)$\\
    $y(t) = \cos(t+2)$ 是因果系统，而且是无记忆系统
\end{quote}

若自变量不是时间，或只是处理已经记录下的数据，则非因果系统具有实际意义


\subsubsection{稳定系统}
对于一个稳定系统，若其输入是有界的，则其输出也是有界的

\begin{quote}
    $y(t) = t\cdot x(t)$ 不是稳定的，对于信号 $x(t)=1$，在 $t\to\infty$ 时输出信号无界\\
    $y(t)=\mathrm e^{x(t)}$ 是稳定的，对于有界信号 $x(t) < B$ 无论 $t$ 如何变动始终有 $y<\mathrm e^{B}$  
\end{quote}

\subsubsection{时不变系统}
对于某系统，将\emph{任选}的输入信号进行\emph{任意}时移 $t_0$，输出信号唯一的改变就是发生了同样的时移 $t_0$，则此系统是时不变系统

\begin{quote}
    $y(t) = \sin[x(t)]$ 是时不变系统，因为对于时移输入$x_2(t) = x_1(t-t_0)$ 有：
    \[y_2(t) = \sin[x_2(t)] = \sin[x_1(t-t_0)] = y_1(t-t_0)\]
    $y[n] = n\cdot x[n]$ 是时变增益系统\\
    $y(t) = x(2t)$ 是时变系统
\end{quote}

\subsubsection{线性系统}
线性 = 可加性 + 齐次性\\
若某输入是几个信号线性叠加而成，则输出也是此系统对每个信号的响应的等权重线性叠加
\[
    \begin{aligned}
        ax_1(t) + bx_2(t) \quad\longrightarrow\quad ay_1(t) + by_2(t)\\
        ax_1[n] + bx_2[n] \quad\longrightarrow\quad ay_1[n] + by_2[n]\\
    \end{aligned}
\]

线性系统必定是零输入-零输出的，也就是具有零初始状态，称初始松弛

\begin{quote}
    这里的“线性”是对变量 $x$ 的线性，$y=\mathtt y(x)$ 对 $x$ 同时有可加性与齐次性\\
    {\color{blue}\unifont 🢡} 以 $x(t)$ 为输入的系统 $y_1(t)=kx(t)$ 是线性系统\\
    {\color{blue}\unifont 🢡} 以 $x(t)$ 为输入的系统 $y_2(t) = kx(t)+b$ \textbf{不是}线性系统，被称为增量线性系统
\end{quote}

\begin{quote}
        {\color{blue}\unifont 🢡} 以 $x(t)$ 为输入的系统 $y(t) = t\cdot x(t)$ 是线性系统，因为：\\
        假定 $y_1(t) = tx_1(t),\;y_2(t)=tx_2(t)$，若输入为 $x_3(t)=ax_1(t)+bx_2(t)$\\
        则输出为 $y_3(t) = t\cdot \big[ax_1(t)+bx_2(t)\big] = ay_1+by_2$

        {\color{blue}\unifont 🢡} 课后第17题：以 $x(t)$ 为输入的系统 $y(t) = x(\sin(t))$ 是线性的，理由如下：\\
        假定对输入 $x_1(t)$ 的响应为 $y_1(t)=x_1(\sin(t))$，对输入 $x_2(t)$ 的响应为 $y_2(t)=x_2(\sin(t))$\\
        则对输入 $x_3(t) = ax_1(t)+bx_2(t)$ 的响应为：
        $$y_3(t) = x_3(\sin(t)) = ax_1(\sin(t)) + bx_2(\sin(t))= ay_1(t)+by_2(t)$$
\end{quote}

\subsubsection{增量线性}
若系统输出的增量与输入的增量之间成线性关系，则称该系统是增量线性系统\\
增量线性系统输出 $y$ = 线性系统$y_1$ + 与输入 $x$ 无关的信号 $y_0(t)$


\section{LTI系统的时域分析}

%\begin{quote}
%    有限项等比数列求和：
%    $$
%    \sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n = 
%    \left\{
%    \begin{aligned}
%        &N, &\alpha=1\\ 
%        &\frac{1-\alpha^N}{1-\alpha}, &\alpha\ne 1
%    \end{aligned}
%    \right.
%    $$
%
%    无限项等比数列求和（$|\alpha|<1$）：
%    \begin{align*}
%       & \sum_{n=0}^{\infty}\alpha^n = \frac{1}{1-\alpha}, 
%       &&\sum_{n=k}^{\infty}\alpha^n = \frac{\alpha^k}{1-\alpha}
%    \end{align*}
%\end{quote}

\subsection{卷积和与卷积积分}
\subsubsection{离散时间LTI系统的响应}
对离散时间LTI系统的时域分析：
\vspace{-1.2em}
\begin{tabbing}
    \hspace{9cm} \= \kill 
    ❶\ 选取基本信号，经过时移得到完备的基本函数系 \> $\big\{\delta[n-k]\big\}$\\
    ❷\ 将输入的任意信号用基本函数系线性表示       \> $x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\,\delta[n-k]$\\
    ❸\ 时不变性求系统对基本信号的响应             \> $\delta[n]\to h[n],\;\delta[n-k]\to h[n-k]$\\
    ❹\ 齐次性、可加性求系统对输入信号的相应       \> $y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\,h[n-k]$\\
\end{tabbing}
\vspace{-1.2em}

因此，离散时间LTI系统可以完全由其单位脉冲响应 $h[n]$ 来表示\\
离散时间LTI系统的输出是输入与单位脉冲响应的\emph{卷积和}
$$
\boxed{
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\,h[n-k] = x[n] * h[n]
}
$$

\subsubsection{连续时间LTI系统的响应}
可以用离散时间系统逼近连续时间系统，如图 \ref{fig:用离散时间系统逼近连续时间系统} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ticks=none,width=12cm,height=6cm]
            \addplot[domain=0.2:2,samples=100,thick] {sin(deg(x))};
            \foreach \i in {0.2,0.4,...,1.8} {
                \addplot[domain=\i:\i+0.2,blue,thick]{sin(deg(\i))};
            }
            \draw[gray,dashed] (axis cs:0.2,0.0000) -- (axis cs:0.2,0.1987);
            \draw[gray,dashed] (axis cs:0.4,0.0000) -- (axis cs:0.4,0.3894);
            \draw[gray,dashed] (axis cs:0.6,0.0000) -- (axis cs:0.6,0.5646);
            \draw[gray,dashed] (axis cs:0.8,0.0000) -- (axis cs:0.8,0.7174);
            \draw[gray,dashed] (axis cs:1.0,0.0000) -- (axis cs:1.0,0.8415);
            \draw[gray,dashed] (axis cs:1.2,0.0000) -- (axis cs:1.2,0.9320);
            \draw[gray,dashed] (axis cs:1.8,0.0000) -- (axis cs:1.8,0.9995);
            \draw[gray,dashed] (axis cs:2.0,0.0000) -- (axis cs:2.0,0.9738);
            \draw[red ,dashed] (axis cs:1.4,0) -- (axis cs:1.4,0.9854);
            \draw[red ,dashed] (axis cs:1.6,0) -- (axis cs:1.6,0.9995);
            \node[red] at (axis cs:1.35,0.15) {\small$ k   \Delta$};
            \node[red] at (axis cs:1.74,0.15) {\small$(k+1)\Delta$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{用离散时间系统逼近连续时间系统}
    \label{fig:用离散时间系统逼近连续时间系统}
\end{figure}

假设函数 $\delta_{\Delta}(t)$ 满足如下关系式，在 $\Delta\to 0$ 时它趋向 $\delta(t)$，在 $\Delta=1$ 时它类似 $\delta[n]$
$$
\delta_{\Delta}(t) = \begin{cases}
    1/\Delta, & 0\le t\le \Delta\\
    0 ,       & {\rm else}\\
\end{cases}
$$

那么在 $\Delta\to 0$ 时图 \ref{fig:用离散时间系统逼近连续时间系统} 中的一组蓝色线段趋向 $x(t)$
$$
x(t) = \lim_{\Delta\to 0}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\cdot\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\cdot \Delta
$$


\begin{quote}
    也可以认为是各个小矩形的面积趋向于 $x(t)$，因为小矩形的面积就是蓝色线段所在高度
\end{quote}

记 $\tau=k\Delta$，则 $\mathrm d\tau=\Delta$，那么：
$$
\boxed{
    x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,\mathrm d\tau = x(t) * \delta(t)
}
$$

这就相当于：任意连续信号可对 $\big\{\delta(t-\tau)\big\}$ 线性展开\\
根据线性时不变的性质，系统对 $x(t)$ 的响应也可表示被 $\big\{h(t-\tau)\big\}$ 同样地线性表示\\
连续时间LTI系统的输出 = 输入与单位冲激响应的\emph{卷积积分}
$$
\boxed{
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,\mathrm d\tau = x(t) * h(t)
}
$$

因此，连续时间LTI系统可以完全由其单位冲激响应来表示

\subsubsection{卷积运算的两种物理理解与运算方式}

在图 \ref{fig:线性时不变系统的冲激响应线性叠加} 中蓝色代表输入，红色代表响应
\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ymin=0,ymax=1.5, xmin=-0.2,xmax=3, width=8cm,height=4cm]
            \draw[-latex,blue,thick] (axis cs:0,0) -- (axis cs:0,1);
            \addplot[red,thick,domain=0:2] {-0.2*(x-2)*(x+2)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{10pt}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ymin=0,ymax=1.5, xmin=-0.2,xmax=3, width=8cm,height=4cm]
            \draw[-latex,blue,thick] (axis cs:0,0) -- (axis cs:0,1);
            \draw[-latex,blue,thick] (axis cs:1,0) -- (axis cs:1,1);
            \addplot[red,thick,domain=0:2,dashed] {-0.2*(x-2)*(x+2)};
            \addplot[red,thick,domain=1:3,dashed] {-0.2*(x-3)*(x+1)};
            \addplot[red,thick,domain=0:1] {-0.2*(x-2)*(x+2)};
            \addplot[red,thick,domain=1:2] {-0.2*(x-3)*(x+1)-0.2*(x-2)*(x+2)};
            \addplot[red,thick,domain=2:3] {-0.2*(x-3)*(x+1)};
            \draw[red,thick] (axis cs:1,0.6) -- (axis cs:1,1.4);
            \draw[violet,dashed] (axis cs:1.5,0) -- (axis cs:1.5,1.1);
            \draw[violet,fill=pink](axis cs:1.5,0.75) circle[radius=1.5pt];
            \draw[violet,fill=pink](axis cs:1.5,0.35) circle[radius=1.5pt];
            \draw[red,fill=red](axis cs:1.5,1.10) circle[radius=1.5pt];
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{LTI系统冲激响应的线性叠加}
    \label{fig:线性时不变系统的冲激响应线性叠加}
\end{figure}

\paragraph{所有时刻的输入所产生的响应的叠加 = 输出}
如图 \ref{fig:线性时不变系统的冲激响应线性叠加} 中两条虚线叠加成实线
\begin{enum}
    \item 将 $x(t)$ 对 $\big\{\delta(t-\tau)\big\}$ 线性分解后得到一系列不同强度的冲激
    \item 每次冲激都让系统产生一个对应强度的冲激响应，彼此之间存在时移
    \item 将所有冲激响应求和（积分）就得到了所有时间的输出
\end{enum}

在这种理解下，卷积运算的过程如图 \ref{fig:卷积运算的第一种方式}
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/卷积运算方式一.png}
    \caption{卷积运算的第一种方式}
    \label{fig:卷积运算的第一种方式}
\end{figure}



\paragraph{给定时刻的输出 = {\unifont ∑}所有时刻的输入在此时刻遗留下的影响}
如图 \ref{fig:线性时不变系统的冲激响应线性叠加} 中两个浅色点叠加成红色点，
且两个输入冲激与本时刻的时间差分别为 $1.5{\;\rm s},\;0.5{\;\rm s}$ 
\begin{enum}
    \item 将 $x(t)$ 对 $\big\{\delta(t-\tau)\big\}$ 线性分解后得到一系列不同强度的冲激
    \item 每次冲激都让系统产生一个对应强度的冲激响应，彼此之间存在时移
    \item 专注于某点 $t_0$ 时刻的输出，$y(t_0)$ 由所有冲激响应在 $t_0$ 点的值所叠加成
    \item 在 $\tau$ 时刻发生的强度为 $x(\tau)$ 的冲激在 $y(t_0)$ 遗留的影响为 $x(\tau)\cdot h(t_0-\tau)$
\end{enum}

在这种理解下，卷积运算表现为序列 $x[k]$ 不动，序列 $h[n-k]$ 沿 $n$ 轴滑动，如图 \ref{fig:卷积运算的第二种方式} 所示
\begin{enum}
\item $x[k]$ 不动，$h[k]$ 关于 $y$ 轴翻转得到 $h[0-k]$
\item $y[n_0]= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\,h[n_0-k]$，其中 $h[n_0-k]$ 由 $h[-k]$ 向右平移 $n_0$ 得到
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[height=4cm, width=8cm, title={$y[0] = \sum x[k]\cdot h[0-k]$}]
            \addplot+[ycomb, blue] coordinates {(-4.1,0) (-3.1,0) (-2.1,0.1) (-1.1,0.3) (-0.1,0.7) (0.9,1.3) (1.9,2.1) (2.9,3.1) (3.9,0)};
            \addplot+[ycomb, red] coordinates {(-3.9,0) (-2.9,3) (-1.9,2) (-0.9,1.5) (0.1,1.1) (1.1,0.7) (2.1,0.5) (3.1,0.4) (4.1,0.35)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{5pt}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[height=4cm, width=8cm, title={$y[1] = \sum x[k]\cdot h[1-k]$}]
            \addplot+[ycomb, blue] coordinates {(-4.1,0) (-3.1,0) (-2.1,0.1) (-1.1,0.3) (-0.1,0.7) (0.9,1.3) (1.9,2.1) (2.9,3.1) (3.9,0)};
            \addplot+[ycomb, red] coordinates {(-3.9,0) (-2.9,0) (-1.9,3) (-0.9,2) (0.1,1.5) (1.1,1.1) (2.1,0.7) (3.1,0.5) (4.1,0.4)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \\
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[height=4cm, width=8cm, title={$y[2] = \sum x[k]\cdot h[2-k]$}]
            \addplot+[ycomb, blue] coordinates {(-4.1,0) (-3.1,0) (-2.1,0.1) (-1.1,0.3) (-0.1,0.7) (0.9,1.3) (1.9,2.1) (2.9,3.1) (3.9,0)};
            \addplot+[ycomb, red] coordinates {(-3.9,0) (-2.9,0) (-1.9,0) (-0.9,3) (0.1,2) (1.1,1.5) (2.1,1.1) (3.1,0.7) (4.1,0.5)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{5pt}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[height=4cm, width=8cm, title={$y[3] = \sum x[k]\cdot h[3-k]$}]
            \addplot+[ycomb, blue] coordinates {(-4.1,0) (-3.1,0) (-2.1,0.1) (-1.1,0.3) (-0.1,0.7) (0.9,1.3) (1.9,2.1) (2.9,3.1) (3.9,0)};
            \addplot+[ycomb, red] coordinates {(-3.9,0) (-2.9,0) (-1.9,0) (-0.9,0) (0.1,3) (1.1,2) (2.1,1.5) (3.1,1.1) (4.1,0.7)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{卷积运算的第二种方式}
    \label{fig:卷积运算的第二种方式}
\end{figure}

对于离散系统，若 $x[n]$ 仅在长度为 $N_1$ 的区间内有非零值，$h[n]$ 仅在长度为 $N_2$ 的区间内有非零值\\
则 $y[n]$ 仅在长度为 $N_1+N_2-1$ 的区间内有非零值，如图 \ref{fig:离散系统输出的非零区间长度示意图} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \foreach \i in {1,2,3,4} {
            \draw (0.5*\i,0) rectangle (0.5*\i+0.5,0.5);
            \node at (0.5*\i+0.25,0.25) {\i};
        }
        \foreach \i in {5,4,3,2,1} {
            \draw (1-0.5*\i,-0.5) rectangle (1-0.5*\i+0.5,0);
            \node at (1-0.5*\i+0.25,-0.25) {\i};
        }
        \foreach \i in {1,2,3,4} {
            \draw (0.5*\i,-1.25) rectangle (0.5*\i+0.5,-0.75);
            \node at (0.5*\i+0.25,-1) {\i};
        }
        \foreach \i in {5,4,3,2,1} {
            \draw (4.5-0.5*\i,-1.75) rectangle (4.5-0.5*\i+0.5,-1.25);
            \node at (4.5-0.5*\i+0.25,-1.5) {\i};
        }
    \end{tikzpicture}
    \caption{离散系统输出的非零区间长度示意图}
    \label{fig:离散系统输出的非零区间长度示意图}
\end{figure}


\subsection{线性时不变系统的性质}
\[
    \boxed{
    \begin{aligned}
        y[n] &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[\,k\,]\,h[\,n-k\,] = x[n]*h[n]\\
        y(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\!x(\tau)h(t-\tau)\,\mathrm d\tau = x(t)*h(t)
    \end{aligned}
    }
\]

对于线性时不变系统，只要知道单位脉冲/冲激响应 $h$ 就能完全确定系统对给定输入 $x$ 的响应 $y$\\
也就是说，线性时不变系统的特性可完全由其冲激响应来确定\\
但对于非线性系统，单位冲激响应一般不能完全确定系统特性

\subsubsection{LTI系统的卷积运算性质}

依据积分/求和的运算性质，可以得到卷积运算的一些性质，它们表达了线性时不变系统的性质

\paragraph{交换律性质}
一个单位冲激响应为$h(t)$ 的系统对输入 $x(t)$ 的响应为 $y_1(t)$\\
一个单位冲激响应为$x(t)$ 的系统对输入 $h(t)$ 的响应为 $y_2(t)$\\
那么 $y_1(t) = y_2(t)$

\[
    \begin{aligned}
        x[n]*h[n] &= h[n]*x[n]\\
        x(t)*h(t) &= h(t)*x(t)
    \end{aligned}
\]

\paragraph{分配律性质}
如下分配律性质可图示如图 \ref{fig:线性时不变系统的分配律性质图示}
\[
    \begin{aligned}
        x[n]*\big(h_1[n]+h_2[n]\big) &= x[n]*h_1[n]+x[n]*h_2[n]\\
        x(t)*\big[h_1(t)+h_2(t)\big] &= x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t)
    \end{aligned}
\]

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \draw (0,0) node [left] {$x$}
            --(1,0);
        \fill (1,0) circle [radius=1.5pt, fill=black];
        \draw[-latex] (1,0) -- (1,1) -- (2,1);
        \draw (2,0.6) rectangle (3,1.4);
        \node at (2.5,1) {$h_1(t)$};
        \draw[-latex] (3,1) -- node[above] {$y_1$}
              (4,1) -- (4,0.2);
        \draw[-latex] (1,0) -- (1,-1) -- (2,-1);
        \draw (2,-0.6) rectangle (3,-1.4);
        \node at (2.5,-1) {$h_2(t)$};
        \draw[-latex] (3,-1) -- node[below] {$y_2$}
              (4,-1) -- (4,-0.2);
        \draw (4,0) circle[radius=0.2];
        \node at (4,0) {$+$};
        \draw[-latex] (4.2,0) -- (5,0) node [right]{$y(t)$};
    
        \node at (7,0) {$\Longleftrightarrow$};
    
        \draw[-latex] (8.5,0) node[left] {$x$} -- (9.5,0);
        \draw (9.5,-0.4) rectangle (12.5, 0.4);
        \node at (11,0) {$h_1(t)+h_2(t)$};
        \draw[-latex] (12.5,0) -- (13.5,0) node[right]{$y(t)$};
    \end{tikzpicture}  
    \caption{线性时不变系统的分配律性质图示}
    \label{fig:线性时不变系统的分配律性质图示}
\end{figure}


\paragraph{结合律性质}
综合交换律，说明对于线性时不变系统，级联次序无关紧要，如图 \ref{fig:四种等价的线性时不变系统级联方式} 所示

\[
    \begin{aligned}
        x[n] * h_1[n] * h_2[n] &= {\color{blue}\big(x[n] * h_1[n]\big)} * h_2[n] = x[n] * {\color{blue}\big(h_1[n] * h_2[n]\big)}\\
        x(t) * h_1(t) * h_2(t) &= {\color{blue}\big[x(t) * h_1(t)\big]} * h_2(t) = x(t) * {\color{blue}\big[h_1(t) * h_2(t)\big]}\\
    \end{aligned}
\]


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \draw[-latex] (0,0) node[left] {$x$} -- (1,0);
        \draw (1,-0.4) rectangle (2, 0.4);
        \node at (1.5,0) {$h_1(t)$};
        \draw[-latex] (2,0) -- node[above]{$w_1$} (3,0);
        \draw (3,-0.4) rectangle (4,0.4);
        \node at (3.5,0) {$h_2(t)$};
        \draw[-latex] (4,0) -- (5,0) node[right] {$y$};
    \end{tikzpicture}
    \hspace{10pt}
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \draw[-latex] (0,0) node[left] {$x$} -- (1,0);
        \draw (1,-0.4) rectangle (4, 0.4);
        \node at (2.5,0) {$h_1(t)*h_2(t)$};
        \draw[-latex] (4,0) -- (5,0) node[right]{$y$};
    \end{tikzpicture}
    \\ \vspace{5pt}\hspace{0pt}
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \draw[-latex] (0,0) node[left] {$x$} -- (1,0);
        \draw (1,-0.4) rectangle (2, 0.4);
        \node at (1.5,0) {$h_2(t)$};
        \draw[-latex] (2,0) -- node[above]{$w_2$} (3,0);p
        \draw (3,-0.4) rectangle (4,0.4);
        \node at (3.5,0) {$h_1(t)$};
        \draw[-latex] (4,0) -- (5,0) node[right] {$y$};
    \end{tikzpicture}
    \hspace{10pt}
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \draw[-latex] (0,0) node[left] {$x$} -- (1,0);
        \draw (1,-0.4) rectangle (4, 0.4);
        \node at (2.5,0) {$h_2(t)*h_1(t)$};
        \draw[-latex] (4,0) -- (5,0) node[right]{$y$};
    \end{tikzpicture}
    \vspace{5pt}
    \caption{四种等价的线性时不变系统级联方式}
    \label{fig:四种等价的线性时不变系统级联方式}
\end{figure}

条件：$h_1,h_2$ 的LTI系统都是稳定的，卷积运算必须收敛

%\paragraph{时移性质}
%$$
%f(t) * g(t-t_0) = (f*g)(t-t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\cdot g(t-t_0-\tau)\d\tau
%$$

%\paragraph{尺度变换}
%$$
%f(at) * g(at) = 
%$$

\paragraph{微分性质/差分性质}
参与卷积的两个函数，任意一个被微分一次，都相当于卷积结果被微分一次
$$
\frac{\d x(t)}{\d t} * h(t) = x(t) * \frac{\d h(t)}{\d t} = \frac{\d}{\d t}\Big[x(t)*h(t)\Big]
$$

证明如下：
\begin{align*}
    \frac{\d}{\d t}\Big[x(t)*h(t)\Big] &= \frac{\d}{\d t} \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \cdot h(t-\tau)\d\tau = x(t)*h'(t)\\
                                       &= \frac{\d}{\d t} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \cdot x(t-\tau)\d\tau = x'(t)*h(t)
\end{align*}

对于离散时间系统，有差分性质，若 $y[n] = x[n]*h[n]$ 则：
$$
\Big(x[n]-x[n-1]\Big) * h[n] = x[n] * \Big(h[n]-h[n-1]\Big) = y[n]-y[n-1]
$$

\paragraph{积分性质/累加性质}
参与卷积的两个函数，任意一个被积分一次，都相当于卷积结果被积分一次
$$
\left[ \int_{-\infty}^{t} f(\tau)\d\tau\right] * g(t) = f(t) * \left[ \int_{-\infty}^{t} g(\tau)\d\tau\right] = 
\int_{-\infty}^{t} f(t)*g(t)\d t
$$

综合微分性质与积分性质，还可得到：
\begin{align*}
    x(t) * h(t) &= x'(t) * \left[\int_{-\infty}^{t} h(\tau) \d\tau \right] \\
                &= \left[ \int_{-\infty}^{t} x(\tau) \d\tau \right] * h'(t) 
\end{align*}

对于离散时间系统，有累加性质，若 $y[n] = x[n] * h[n]$ 则：
$$
\left[\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\right] * h[n] = x[n]*\left[\sum_{k=-\infty}^{n}h[k]\right] = \sum_{k=-\infty}^n y[k] 
$$

\paragraph{与特殊函数的卷积}

利用 $\delta(t)$ 函数性质可得第一式，利用卷积的积分性质可得第二式
\begin{align*}
    x(t) * \delta(t-t_0) &= x(t-t_0) &
    x[n] * \delta[n-n_0] &= x[n-n_0]\\
    x(t) * u(t-t_0) &= \int_{-\infty}^{t_0} x(t) \d t &
    x[n] * u[n-n_0] &= \sum_{k=-\infty}^{n} x[k-n_0]
\end{align*}

\paragraph{时移性质}
若 $y = x * h$ 则：
\begin{align*}
    x(t-t_1) * h(t-t_2) &= y(t-t_1-t_2) \\
    x[n-n_1] * h[n-n_2] &= y[n-n_1-n_2]
\end{align*}

证明如下：
\begin{align*}
    x(t-t_1) * h(t-t_2) = \Big[x(t) * \delta(t-t_1) \Big] * \Big[h(t) * \delta(t-t_2)\Big] = y(t) * \delta(t-t_1) * \delta(t-t_2)
\end{align*}

\paragraph{尺度变换}
若 $y(t) = x(t) * h(t)$ 则：
$$
x(at) * h(at) = \frac{1}{|a|} y(at)
$$


\subsubsection{无记忆的线性时不变系统}
对于离散系统，若 $y[n] = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\,h[n-k]$ 与 $x[k\ne n]$ 无关，
则 $h[n]\big|_{n\ne 0}=0$，也就是：
\[
    h[n] = K\,\delta[n]
    \qquad \Longrightarrow\qquad
    y[n] = K\,x[n]
\]

对于连续系统，若 $y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,\mathrm d\tau$ 与 $x(\tau\ne t)$ 无关，
则 $h(t)\big|_{t\ne 0}=0$，也就是：
\[
    h(t) = K\,\delta(t)
    \qquad\Longrightarrow\qquad
    y(t) = K\, x(t)
\]

\subsubsection{可逆的线性时不变系统}
若系统 $h_2$ 是线性时不变系统 $h_1$ 的逆系统，那么系统 $h_2$ 时线性时不变的，且：
\[
    \begin{aligned}
        x[n] * h_1[n] * h_2[n] = x[n] \qquad &\Longrightarrow \qquad h_1[n]*h_2[n] = \delta[n]\\
        x(t) * h_1(t) * h_2(t) = x(t) \qquad &\Longrightarrow \qquad h_1(t)*h_2(t) = \delta(t)\\
    \end{aligned}
\]

\subsubsection{因果的线性时不变系统}

若 $y[n] = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]$ 与 $x[k > n]$ 无关，
则 $h[n]\big|_{n<0}=0$

若 $y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,\mathrm d\tau$ 与 $x(\tau > t)$ 无关， 
则 $h(t)\big|_{t<0} = 0$

\begin{quote}
    含义：一个具有因果性的线性时不变系统的冲激响应，在冲激未到来前必定为 $0$\\
    （因果系统的初始松弛）
\end{quote}

此时卷积和与卷积积分化为：
$$
\begin{aligned}
    &x[n]*h[n] = \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\,h[n-k] = \sum_{k=0}^{+\infty}h[k]\,x[n-k]\\
    &x(t)*h(t) = \int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,h(t-\tau)\,\mathrm d\tau  = \int_{0}^{+\infty}h(\tau)\,x(t-\tau)\,\mathrm d\tau
\end{aligned}
$$

\subsubsection{稳定的线性时不变系统}
对于稳定系统，若输入有界，则输出有界

输入 $|x|\le B$，输出：
$$
\begin{gathered}
    \big|y[n]\big| = \left|\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\,h[n-k]\right| 
    \le \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\big|x[k]\big|\,\big|h[n-k]\big|
    \le B\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\big|h[n-k]\big|\\
    \big|y(t)\big| = \left|\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,\mathrm d\tau\right|
    \le  \int_{-\infty}^{+\infty}\big|x(\tau)\big|\,\big|h(t-\tau)\big|\,\mathrm d\tau
    \le B \int_{-\infty}^{+\infty}\big|h(t-\tau)\big|\,\mathrm d\tau
\end{gathered}
$$

因此对于一个LTI系统，若输入是有界的，则：\\
稳定 $\iff$ 输出有界 $\iff$ 单位脉冲响应绝对可和/绝对可积
\begin{align*}
    &\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\big|h[k]\big|<+\infty,
    &\int_{-\infty}^{+\infty}\big|h(\tau)\big|\,\mathrm d\tau<+\infty
\end{align*}



\subsubsection{线性时不变系统的单位阶跃响应}

用 $s[n],s(t)$ 表示系统的单位阶跃响应
\begin{align*}
    &s[n] = u[n] * h[n],
    &s(t) = u(t) * h(t)    
\end{align*}

根据交换律性质，$s$ 可视为单位脉冲响应为 $u$ 的系统对输入 $h$ 的响应\\
对于离散的线性时不变系统 $u[n]$ 是一个累加器的单位脉冲响应\\
对于连续的线性时不变系统 $u(t)$ 是一个积分器的单位脉冲响应
\begin{align*}
     s[n] &= \sum_{k=-\infty}^{+n}h[k],
    &s(t) &= \int_{-\infty}^{t} h(t)\,\mathrm d\tau \\
     h[n] &= s[n] - s[n-1],
    &h(t) &= \frac{\mathrm ds(t)}{\mathrm dt} = s'(t) 
\end{align*}

因此:\\
离散系统的单位阶跃响应 $s$ 是单位脉冲响应 $h$ 的累加，$h$ 是 $s$ 的差分\\
连续系统的单位阶跃响应 $s$ 是单位冲激响应 $h$ 的积分，$h$ 是 $s$ 的微分\\


\subsection{用微分、差分方程描述的因果线性时不变系统}

\begin{quote}
    LCCDE = Linear Constant Coefficient Differential Equation\\
    线性常系数微分/差分方程
\end{quote}

\subsubsection{微分方程描述的连续因果的线性时不变系统}
\paragraph{LCCDE方程基本形式}
如下 $N$ 阶线性常系数微分方程描述了一个系统的输入输出关系
\[
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky(t)}{\mathrm dt^k} = \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx(t)}{\mathrm dt^k}
\]
注意 $x(t)$ 是确知信号，因此方程右侧是确知的关于 $t$ 的函数，也即非齐次项\\
给定一个 $x(t)$，得到一个关于 $y(t)$ 的微分方程，也就对应一个输出，因此LCCDE描述了一个系统\\
系统的特性是由 $a_k,b_k$ 决定的

非齐次方程的通解$y(t)$ =  齐次方程的通解$y_{\rm h}(t)$ + 非齐次方程的特解$y_{\rm p}(t)$\\
齐次方程通解 $y_{\rm h}(t)$ 与输入信号无关，称为自然响应（只与 $a_k$ 有关）\\
非齐方程特解 $y_{\rm p}(t)$ 受输入信号决定，称为受迫响应（与$a_k,b_k,x(t)$ 有关）
\begin{align*}
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_{\rm h}(t)}{\mathrm dt^k} &= 0 &
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_{\rm p}(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx(t)}{\mathrm dt^k} 
\end{align*}

齐次方程通解形式如下，从而可以写出 $y(t)$ 的通解，给定一组定解条件即可确定系统输出 $y(t)$
\begin{align*}
    y_{\rm h}(t) = \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt}
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    y(t) = \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt} + y_{\rm p}(t)
\end{align*}

\paragraph{用LCCDE描述线性系统}
给定如下输入输出关系：
\begin{align*}
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_1(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx_1(t)}{\mathrm dt^k}\\
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_2(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx_2(t)}{\mathrm dt^k}\\
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_3(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx_3(t)}{\mathrm dt^k}
\end{align*}

令 $x_3(t) = \xi x_1(t) + \eta x_2(t)$，考察 $y_3(t)$ 与 $y_1(t),y_2(t)$ 的关系
\begin{align*}
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_3(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx_3(t)}{\mathrm dt^k}\\
                                                           &= \sum_{k=0}^Mb_k \frac{\d^k\big[\xi x_1(t)+\eta x_2(t)\big]}{\d t^k}\\
                                                           &= \sum_{k=0}^Na_k \frac{\d^k\big[\xi y_1(t)+\eta y_2(t)\big]}{\d t^k}
\end{align*}

因此： 
$$
\sum_{k=0}^Na_k \frac{\d^k\big[y_3(t) - \xi y_1(t)-\eta y_2(t)\big]}{\d t^k} = 0
$$

这与LCCDE所对应的齐次方程是一致的，通解为：
$$
y_3(t) - \xi y_1(t) - \eta y_2(t) =y_{\rm h}(t)= \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt}
$$

上式不可能只有零解。若希望有 $y_3(t) = \xi y_1(t) + \eta y_2(t)$ 则必须用定解条件约束
%LCCDE描述的是线性系统 $\iff$ 定解条件约束下LCCDE对应的齐次方程给出零解


若要用定解条件约束齐次方程，就必须先排除非齐次方程特解的影响\\
最简单的方式是在一定是在某时间段内零输入\\
若 $t<t_0$ 时有 $x(t)\equiv 0$，则 $t<t_0$ 时 $y_{\rm p}(t) = 0$，因此 $y(t) = y_{\rm h}(t)$\\
再给定 $t=t_1<t_0$ 时有 $y(t_1) = y'(t_1) = \cdots = y^{(N)}(t_1)=0$，则在 $t<t_0$ 时有：
$$
\begin{aligned}
    y(t) &= y_{\rm h}(t) =  \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt}\\
    y(t_1) &= y'(t_1) = \cdots = y^{(N)}(t_1)=0
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad C_1=\cdots=C_N=0 
\qquad\Longrightarrow\qquad y(t) = y_{\rm h}(t) \equiv 0
$$
由于 $y_{\rm h}(t)$ 与输入无关，在整个时域内不分段，必有：
$$
y_{\rm h}(t) \equiv 0,\qquad t\in\mathbb R
$$

常用初始松弛条件，即若在 $t<t_0$ 时输入 $x(t)\equiv0$，则 $y(t_0) = y'(t_0) = \cdots = y^{(N)}(t_0)=0$\\
如果所有输入信号都能给出初始松弛条件，则系统的自然相应 $y_{\rm h}(t)\equiv 0$

如果系统对所有单边信号给出初始松弛条件\\
则 $x_1(t),x_2(t)$ 及其叠加信号 $x_3(t) = \xi x_1(t) + \eta x_2(t)$ 所对应输出都是初始松弛的\\
那么 $y_3(t)-\xi y_1(t) - \eta y_2(t)$ 也是初始松弛的，则如下方程给出零解：
$$
\sum_{k=0}^Na_k \frac{\d^k\big[y_3(t) - \xi y_1(t)-\eta y_2(t)\big]}{\d t^k} = 0 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
y_3(t) \equiv \xi y_1(t) + \eta y_2(t)
$$

因此，由LCCDE所描述的系统，若给出初始松弛条件，则系统是线性的

\paragraph{用LCCDE描述时不变系统}
对于时不变性也是类似的，令 $x_3(t) = x_1(t-t_0)$，则：
\begin{align*}
    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_3(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx_3(t)}{\mathrm dt^k}\\
                                                           &= \sum_{k=0}^Mb_k \frac{\d^k\big[ x_1(t-t_0) \big]}{\d t^k}\\
                                                           &= \sum_{k=0}^Na_k \frac{\d^k\big[ y_1(t-t_0) \big]}{\d t^k}
\end{align*}
因此： 
$$
\sum_{k=0}^Na_k \frac{\d^k\big[y_3(t) - y_1(t-t_0)\big]}{\d t^k} = 0
\qquad\Longrightarrow\qquad 
y_3(t) - y_1(t-t_0) = \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt}
$$
同样地，在给出初始松弛条件的情况下，上式给出零解 $y_3(t) \equiv y_1(t-t_0)$

因此，由LCCDE所描述的系统，若给出初始松弛条件，则系统是时不变的

%LCCDE 所描述的系统自然具有可加性 
%$$
%\begin{aligned}
%    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_1(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx_1(t)}{\mathrm dt^k}\\
%    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky_2(t)}{\mathrm dt^k} &= \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx_2(t)}{\mathrm dt^k}
%\end{aligned}
%\qquad\Longrightarrow\qquad 
%\sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^k[y_1(t)+y_2(t)]}{\mathrm dt^k} = \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^k[x_1(t)+x_2(t)]}{\mathrm dt^k}
%$$
%
%在系数 $\xi\ne 0$ 时 LCCDE 描述的系统自然具有“齐次性”
%$$
%\sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky(t)}{\mathrm dt^k} = \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^kx(t)}{\mathrm dt^k}
%\qquad\Longrightarrow\qquad 
%\sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^k[\xi\,y(t)]}{\mathrm dt^k} = \sum_{k=0}^Mb_k\frac{\mathrm d^k[\xi\,x(t)]}{\mathrm dt^k}
%$$
%    
%因此若希望LCCDE所描述的系统是线性的，只需要确保输入为 $x(t)\equiv0$ 时只有零解 $y(t)\equiv 0$
%$$
%\sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky(t)}{\mathrm dt^k} = 0
%\qquad\Longrightarrow\qquad 
%y(t) = \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt}
%$$
%观察发现此时可以有非零解，说明仅靠LCCDE并不能将系统约束为线性，需要在定解条件上进一步约束
%
%\begin{quote}
%    实际上这里可以看出，LCCDE是可以将系统约束为增量线性
%\end{quote}
%
%可以看出，给定任意时刻 $t_0$ 的零状态条件 $y(t_0)=y'(t_0)=\cdots=y^{(N)}(t_0)=0$ 可以满足要求：
%\begin{align*}
%    y(t_0)=y'(t_0)=\cdots=y^{(N)}(t_0)=0 
%    \qquad\iff \qquad
%    y(t) = \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt} \equiv 0
%\end{align*}
%
%综上：LCCDE所描述的系统是线性的 $\iff$ 零输入时在任意一个时刻给出零状态条件

%当给定初始条件 $y(t_0)=y'(t_0)=\cdots=y^{(N)}(t_0)=0$ 时，有且只有 $y_{\rm g}(t)\equiv 0$
%
%若已知系统为线性的，则 $a_k,b_k$ 将受到约束：\\
%对于一个线性系统，$x(t)\equiv 0$ 时必有 $y(t)\equiv 0$，此时它的微分方程是齐次的
%$$
%    \sum_{n=0}^N a_k\frac{\mathrm d^ky(t)}{\mathrm dt^k} = 0 
%    \qquad\Longrightarrow\qquad 
%    y(t) = \sum_{k=1}^{N} C_k\mathrm e^{\lambda_kt}
%$$
%
%$y(t)\equiv 0 \quad\iff\quad C_k=0 \quad\iff\quad y(t_0)=y'(t_0)=\cdots=y^{(N)}(t_0)=0$\\
%也就是说：给定零附加条件 $\iff$ 给定的线性常系数微分方程描述的是线性系统

%对于 $x(t)$ 时单边信号如 $x(t) = x_1(t)\cdot u(t-t_0)$，
%
%可以证明：若零附加条件在信号加入的时刻给出（零初始条件），则此系统还是因果、时不变的
%$$
%\begin{aligned}
%    y(0) &= y'(0) = \cdots = y^{(N-1)}(0) = 0 \\
%    x(t) &= 0,\quad (t<0)
%\end{aligned}
%\qquad\iff\qquad \text{因果LTI系统}
%$$
%
%若一个因果的LTI系统是LCCDE描述且具有零初始条件，则称该系统初始松弛

\paragraph{总结}
若给出初始松弛条件，则在 $t<0$ 时 $h(t) = 0$，可知系统是因果的

综上：用LCCDE所描述的系统，若给出初始松弛条件，则系统为因果、线性、时不变的

可以证明，若初始条件不全为0，则LCCDE描述的是增量线性系统

\begin{quote}
    {\unifont ❓}某些信号如 $x(t)=t$ 无法给出初始松弛条件，那么对于这些信号，系统还是线性的吗？
\end{quote}

\subsubsection{差分方程描述的离散因果的线性时不变系统}

如下 $N$ 阶线性常系数差分方程描述了一个离散系统的输入输出关系
\[
    \sum_{k=0}^Na_k\, y[n-k] = \sum_{k=0}^M b_k\,x[n-k]
\]
非齐次方程的通解 = 非齐次方程的特解 + 齐次方程的通解（自然响应）\\
必须给定一组附加条件来定解

与连续系统的情况完全类似，当LCCDE具有零初始条件时，所描述的是因果LTI系统

另外，对于离散系统可以直接通过移项得到 $y[n]$ 
\[
    y[n] = \frac{1}{a_0}\left( \sum_{k=0}^Mb_k\,x[n-k] - \sum_{k=1}^Na_k\,y[n-k]\right)
\]
可以看出：
若已知一组附加条件如 $y[-N],y[-N+1],\cdots,y[-1]$ 那么即可递归求解任何 $y[n]$

\begin{quote}
    在 $N=0$ 时转化为非递归情况，直接由此时及过去的输入确定输出
    \[
        y[n] = \sum_{k=0}^M \frac{b_k}{a_0}\, x[n-k]
    \]
    可得此系统的单位脉冲响应为：
    \[
        h[n] = 
        \begin{cases}
            b_n/a_0, & 0\le n \le M\\
            0,       & {\rm else}
        \end{cases}
        \qquad\Longrightarrow\qquad 
        y[n] = h[n] * \big(x[n]\cdot u[n]\big)
    \]
    此系统的单位脉冲响应仅在有限的时间段内非零\\
    称为有限长脉冲响应系统(FIR, Finite Impulse Response)\\
    否则称为无限长脉冲响应系统(IIR, Infinite Impulse Response)
\end{quote}

无论微分方程还是差分方程：\\
特解的形式由输入信号决定，称为受迫响应\\
齐次解部分与输入信号无关，称为自然响应（线性系统自然响应为0）

\subsubsection{差分方程的方框图表示}
描述离散因果系统差分方程的基本单元：相加、数乘、单位延迟，如图 \ref{fig:离散因果系统差分方程的方框图基本单元} 所示 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \coordinate(A) at (2,0);
        \draw (A) circle[radius=0.2] node{$+$};
        \draw[-latex] (A)  ++( -1.2,-0.8) node[left]{$x_2[n]$} -- ++(1.2,0) -- ++(0, 0.6);
        \draw[-latex] (A)  ++( -1.2, 0.8) node[left]{$x_1[n]$} -- ++(1.2,0) -- ++(0,-0.6);
        \draw[-latex] (A)  ++(0.2, 0) -- ++(1.0,0) node[right]{$x_1[n]+x_2[n]$};  
    \end{tikzpicture}
    \hspace{10pt}
    \begin{tikzpicture}[thick, baseline=-32pt]
        \draw[-latex] (  0,0) node[left]{$x[n]$} -- node[above]{$a$} ++(2.4,0) node[right]{$ax[n]$};
    \end{tikzpicture}
    \hspace{10pt}
    \begin{tikzpicture}[thick, baseline=-32pt]
        \coordinate (A) at (2,0);
        \fill[fill=lightgray,draw=black] (A) ++(-0.3,-0.3) rectangle ++(0.6,0.6);
        \draw (A) node{D};
        \draw[-latex] (A) ++(-1.5,0) node[left]{$x[n]$} -- ++(1.2,0);
        \draw[-latex] (A) ++( 0.3,0)  -- ++(1.2,0) node[right]{$x[n-1]$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{离散因果系统差分方程的方框图基本单元}
    \label{fig:离散因果系统差分方程的方框图基本单元}
\end{figure}


\begin{quote}
    例：对于一阶差分方程 $y[n] + ay[n-1] = bx[n]$，可以转化为如下方框图：
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[thick]
            \coordinate (A) at (0,0);
            \draw (A) circle[radius=0.2] node{$+$};
            \draw[-latex] (A) ++(-1.4,0) node[left]{$x[n]$} -- node[above]{$b$} ++(1.2,0);
            \coordinate (B) at (2,0);
            \fill[fill=black] (B) circle[radius=1.5pt];
            \draw[-latex] (A) ++(0.2,0) -- (B) -- ++(1.2,0) node[right]{$y[n]$};
            \coordinate (C) at (2,-1);
            \fill[draw=black,fill=lightgray] (C) ++(-0.3,-0.3) rectangle ++(0.6,0.6);
            \draw (C) node{\rm D};
            \draw[-latex] (B) --  ($(C)+(0,0.3)$);
            \draw[-latex] (C) ++(0,-0.3) -- (2,-2) node[right,blue]{$y[n-1]$} 
                --node[above]{$-a$} ($(A)+(0,-2)$) --  ($(A)+(0,-0.2)$);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{quote}

对于一般N阶线性差分方程，做如下变量代换，从而绘制出方框图如图 \ref{fig:差分方程的方框图表示（直接一型）} 所示
\begin{align*}
    w[n] &= \sum_{k=0}^M b_k \,x[n-k] &
    y[n] &= \frac{1}{a_0} \left( w[n] - \sum_{k=1}^N a_k\, y[n-k] \right)
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{figures/离散系统的方框图表示_直接一型.png}
    \caption{差分方程的方框图表示（直接一型）}
    \label{fig:差分方程的方框图表示（直接一型）}
\end{figure}

图 \ref{fig:差分方程的方框图表示（直接一型）} 可视为两个系统的级联\\
显然两个系统都应当是稳定的，因此级联顺序可调换，得到如图 \ref{fig:差分方程的方框图表示（直接二型）} 所示方框图

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/离散系统的方框图表示_直接二型.png}
    \caption{差分方程的方框图表示（直接二型）}
    \label{fig:差分方程的方框图表示（直接二型）}
\end{figure}

直接2型可节约一半的延迟器（寄存器）。然而无法确定寄存器寄存数字的范围，因此无法确定寄存器位数

\subsubsection{微分方程的方框图表示}
描述连续因果系统微分方程方框图的基本单元：相加、数乘、微分器、积分器，如图 \ref{fig:连续因果系统微分方程方框图的基本单元} 所示\\
由于微分器在现实中实现困难、易受干扰，通常化微分方程为积分方程从而使用积分器

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \coordinate (A) at (2,0);
        \fill[fill=lightgray,draw=black] (A) ++(-0.3,-0.3) rectangle ++(0.6,0.6);
        \draw (A) node{$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$};
        \draw[-latex] (A) ++(-1.5,0) node[left]{$x(t)$} -- ++(1.2,0);
        \draw[-latex] (A) ++( 0.3,0)  -- ++(1.2,0) node[right]{$\dfrac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}$};
    \end{tikzpicture}
    \hspace{2cm}
    \begin{tikzpicture}[thick]
        \coordinate (A) at (2,0);
        \fill[fill=lightgray,draw=black] (A) ++(-0.3,-0.3) rectangle ++(0.6,0.6);
        \draw (A) node{$\int$};
        \draw[-latex] (A) ++(-1.5,0) node[left]{$x(t)$} -- ++(1.2,0);
        \draw[-latex] (A) ++( 0.3,0)  -- ++(1.2,0) node[right]{$\displaystyle\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,\mathrm d\tau$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{连续因果系统微分方程方框图的基本单元}
    \label{fig:连续因果系统微分方程方框图的基本单元}
\end{figure}

仿照差分方程，用下标表示积分次数，进行变量代换，交换级联次序：
\begin{align*}
    w(t) &= \sum_{k=0}^N b_k \, x_{(N-k)}(t) &
    y(t) &= \frac{1}{a_N}\left[ w(t) - \sum_{k=0}^{N-1}a_k\, y_{(N-k)}(t) \right]
\end{align*}

可绘制微分方程的直接一型、直接二型的方框图如图 \ref{fig:微分方程的方框图表示（直接一型）}、
图 \ref{fig:微分方程的方框图表示（直接二型）} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{figures/连续系统的方框图表示_直接一型.png}
    \caption{微分方程的方框图表示（直接一型）}
    \label{fig:微分方程的方框图表示（直接一型）}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{figures/连续系统的方框图表示_直接二型.png}
    \caption{微分方程的方框图表示（直接二型）}
    \label{fig:微分方程的方框图表示（直接二型）}
\end{figure}

\begin{quote}
    \begin{align*}
        &\frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt}+a\,y(t) = b\,x(t)&
        &y(t) = \int_{-\infty}^t \Big[b\,x(\tau) - a\,y(\tau)\Big]\,\mathrm d\tau
    \end{align*}

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[thick]
            \coordinate (A) at (0,0);
            \draw (A) circle[radius=0.2] node{$+$};
            \draw[-latex] (A) ++(-1.4,0) node[left]{$x(t)$} -- node[above]{$b/a$} ++(1.2,0);
            \coordinate (B) at (2,0);
            \fill[fill=black] (B) circle[radius=1.5pt];
            \draw[-latex] (A) ++(0.2,0) -- (B) -- ++(1.2,0) node[right]{$y(t)$};
            \coordinate (C) at (2,-1);
            \fill[draw=black,fill=lightgray] (C) ++(-0.3,-0.3) rectangle ++(0.6,0.6);
            \draw (C) node{$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$};
            \draw[-latex] (B) --  ($(C)+(0,0.3)$);
            \draw[-latex] (C) ++(0,-0.3) -- (2,-2) node[right]{$\color{blue}\frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt}$} --node[above]{$-1/a$} ($(A)+(0,-2)$) --  ($(A)+(0,-0.2)$);
        \end{tikzpicture}
        \hspace{10pt}
        \begin{tikzpicture}[thick,baseline=-2.36cm]
            \coordinate (A) at (0,0);
            \coordinate (B) at (2,0);
            \coordinate (C) at (1,0);
            \draw (A) circle[radius=0.2] node{$+$};
            \draw[-latex] (A) ++(-1.4,0) node[left]{$x(t)$} -- node[above]{$b/a$} ++(1.2,0);
            \fill[fill=black] (B) circle[radius=1.5pt];
            \fill[draw=black,fill=lightgray] (C) ++(-0.3,-0.3) rectangle ++(0.6,0.6);
            \draw (C) node{$\int$};
            \draw[-latex] (A) ++(0.2,0) -- ($(C)+(-0.3,0)$);
            \draw[-latex] (C) ++(0.3,0) -- (B) -- ++(1.2,0) node[right]{$y(t)$};
            \draw[-latex] (B) -- ++(0,-2) -- node[above]{$-a$} ++(-2,0) -- ($(A)+(0,-0.2)$);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{quote}

\subsection{奇异函数}

\subsubsection{单位冲激函数}
以下对单位冲激函数 $\delta(t)$ 的定义等价


单位冲激函数的性质：
\begin{enum}
    \item 筛选性质（定义）：$x(t) * \delta(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau)\,\mathrm d\tau = x(t)$
    \item 面积性质：$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau)\,\mathrm d\tau=1$（在定义中令 $x(t)=1$ 即可得到）
    \item $f(t)\,\delta(t) = f(0)\,\delta(t)$，对于任意信号 $g(\tau)$
          \[
              \int_{-\infty}^{+\infty}g(\tau)f(\tau)\delta(\tau)\,\mathrm d\tau = g(0)f(0)
              = \int_{-\infty}^{+\infty}g(\tau)f(0)\delta(\tau)\,\mathrm d\tau
          \]
    \item Something Else\dots
\end{enum}

\subsubsection{单位冲激偶与其它奇异函数}

单位冲激偶 $u_1(t)$ 定义为微分器的单位冲激响应：
$$
\boxed{
\frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} = x(t) * u_1(t)
}
$$
等价于：单位冲激偶是单位冲激函数 $\delta(t)$ 的一阶导数

等价性证明：系统 $y(t)=x'(t)$ 的单位冲激响应为 $u_1(t)=\delta'(t)$，
那么对任意输入 $x(t)$ 的响应为：
$$
y(t) = x(t) * u_1(t) = \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}
$$

性质：
\begin{enum}
    \item 面积性质：$\int_{-\infty}^{+\infty}u_1(t) = 0$（在定义中令 $x(t)=1$ 即可得到）
    \item {\unifont ❓} $u_1(-t) = -u_1(t)$
    \item $\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)u_1(t)\,\mathrm dt = -g'(0)$
\end{enum}

同理，定义 $u_k(t)$ 为 $\delta(t)$ 的 $k$ 次导数（$k>0$）
$$
\frac{\mathrm d^kx(t)}{\mathrm dt^k} = x(t) * u_k(t) =x(t) * \overbrace{ u_1(t) * \cdots * u_1(t)}^{k}
$$

对 $\delta(t)$ 积分得到另一些具有相反作用的函数：\\
一次积分：单位阶跃函数 $u_{-1}(t) = u(t)$，积分器的单位冲激响应，$x(t) * u(t) = \int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,\mathrm d\tau$\\
二次积分：单位斜坡函数 $u_{-2}(t) = tu(t)$，相当于两积分器级联，$u_{-2}(t) = u_{-1}(t) * u_{-1}(t)$

若将 $\delta(t)$ 记作 $u_0(t)$ 则：
\[
    u_k(t) * u_r(t) = u_{k+r}(t)
\]
积分器与微分器互为逆系统

\section{连续时间LTI系统的频域分析}

频域分析也就是用复指数信号作为基本单元信号，来分解其他信号\\
采用复指数信号是因为它有如下优点
\begin{enum}
\item 本身形式简单
\item LTI系统对它的响应是同频率的复指数信号，只是乘以常数倍，倍数与自身频率有关。
\item 足够完备，能够线性组合出很多其它信号
\end{enum}

\subsection{连续时间LTI系统的特征函数}

连续时间LTI系统对复指数限号 $\mathrm e^{s_0t}$ 的响应 $y(t)$ 为：
$$
\begin{aligned}
    y(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \rme^{s_0(t-\tau)} \,h(\tau)\,\mathrm dt  \\
         &= \mathrm e^{s_0t}\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)\rme^{-s_0\tau}\d\tau\\
         &= H(s_0) \cdot \mathrm e^{s_0t}
\end{aligned}
\qquad\qquad
\begin{aligned}
    H(s_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \,\rme^{-s_0t} \d \tau
\end{aligned}
$$



若系统对某信号的响应是该信号乘以某常数，则该信号是系统的特征函数\\
有且只有复指数信号是一切LTI系统的特征函数，其对应的特征值记为 $H(s)$

那么若将输入信号对复指数信号分解，则输出可由如下关系求得：
$$
x(t) = \sum_{k} a_k \mathrm e^{s_kt} 
\qquad\Longrightarrow\qquad
y(t) = \sum_{k} a_k H(s_k) \mathrm e^{s_kt}
$$

首先研究 $s=\mathrm j\omega$ 的情况，也即 $x(t)$ 对特征函数系 $\{\rme^{\,\rmj\omega t}\;|\;\omega\in\mathbb R\}$ 分解


\subsection{连续时间傅立叶级数 CFS}

选取成谐波关系的复指数信号集 $\Phi_k(t) = \{ \mathrm e^{\,\mathrm jk\Omega_0t} \}$ ，每个信号都以 $T_0=2\pi/|k\Omega_0|$ 为周期\\
函数系 $\{\mathrm e^{\,\mathrm jk\Omega_0t}\}$ 是正交的，且模方为 $T_0 = 2\pi/\Omega_0$：
$$
\int_0^{T_0} \mathrm e^{\,\mathrm j(k-n)\Omega_0t}\,\mathrm dt
= \frac{1}{\rmj (k-n)\Omega_0}\left[ \rme^{\,\rmj (k-n)2\pi} - 1\right]
= \begin{cases}
    0, &k\ne n\\
    T_0,&k=n
\end{cases}
$$

可以证明：满足一定条件时，函数系 $\{\mathrm e^{\,\mathrm jk\Omega_0t}\}$ 能够线性表示出一切以 $T_0$ 为周期的信号
（{\kaishu 足够完备}）：
%假定以 $T_0$ 为周期的信号 $x(t)$ 可以进行傅立叶级数展开
\begin{align*}
    x(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \mathrm e^{\,\mathrm jk\Omega_0t}
\end{align*}

两边同乘 $\rme^{-\rmj n\Omega_0 t}$ 并在 $0\to T_0$ 积分，利用其正交性：
$$
    \int_0^{T_0}x(t)\,\mathrm e^{-\mathrm jn\Omega_0t}\,\mathrm dt 
    =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \int_{0}^{T_0}\mathrm e^{\,\mathrm j(k-n)\Omega_0t}\,\mathrm dt = A_nT_0
$$


从而得到周期函数的傅立叶级数展开式如下。根据周期函数积分性质，积分限也可改为 $-T_0/2\sim T_0/2$
$$
\boxed{
    \begin{aligned}
        x(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \,\mathrm e^{\,\rmj k\Omega_0t}\\
        A_k  &= \frac{1}{T_0} \int_0^{T_0} x(t)\,\mathrm e^{-\rmj k\Omega_0t}\,\mathrm dt
    \end{aligned}
}
$$

\begin{quote}
    为何要采用“共轭-相乘-积分”的内积定义？\\
    因为在这种定义下得到的 $A_k$ 可以使得\textbf{有限}项级数与原函数的最小均方误差最小
    $$
    E_N(t) = \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\left|x(t) - \sum_{k=-N}^{+N}A_k\,\rme^{\,\rmj k\Omega_0t}\right|^2 \d t
    $$
    
\end{quote}

\subsubsection{傅立叶级数的存在条件}
傅立叶级数无充要的存在条件。对于\emph{充分条件}，常用的有以下两种

\paragraph{平方可积条件}
若周期信号 $x(t)$ 在一个周期内平方可积，则其一定可以表现为傅立叶级数
$$
\int_{-T_0/2}^{T_0/2} |x(t)|^2 \d t<\infty
$$

这表明给定的周期函数 $x(t)$ 有有限的能量、功率

\paragraph{Dirichlet条件}
若周期信号 $x(t)$ 满足以下三条，则其一定可以表现为傅立叶级数
\begin{enum}
    \item 在任何周期内绝对可积
        $$
        \int_{-T_0/2}^{T_0/2} |x(t)| \d t<\infty
        $$
    \item 在任何有限区间内只有有限个极值点，且极值为有限值
    \item 在任何有限区间内只有有限个第一类间断点
\end{enum}

\subsubsection{其它}
\paragraph{吉布斯现象}
对于有限项傅立叶展开在间断点处存在振荡与超量，而且超量幅度不随谐波分量的增加而减小\\
但谐波分量越多，超量越向间断点附近压缩，超量所占有的能量越小

因为：傅里叶级数是在\emph{均方误差}最小的准则下对信号的最佳近似

\paragraph{频谱}
\vspace{1em}
\begin{quote}
    信号的频谱完全包含了信号本身（频谱表示法）
\end{quote}

通常来说 $A_k$ 是复数，绘制 $|A_k|-k\Omega_0$ 以及 $\arg A_k-k\Omega_0$ 图像就可以得到频谱的全部信息\\
两者分别称为振幅谱、相位谱

对于实信号 $x^*(t) = x(t)$来说两个互为相反数的频率对应的展开系数是共轭的，即 $A_k = A_{-k}^*$\\
因此周期性实信号在振幅谱上是偶函数，在相位谱上是奇函数
$$
\begin{aligned}
    x^*(t) &= \left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \,\mathrm e^{\,\rmj k\Omega_0t}\right)^* 
            = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k^* \,\mathrm e^{-\rmj k\Omega_0t}\\
    x(t)   &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \,\mathrm e^{\,\rmj k\Omega_0t}
    \qquad  = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_{-k} \,\mathrm e^{-\rmj k\Omega_0t}
\end{aligned}
$$

\begin{quote}
    为何周期函数的频谱是离散的？\\
    因为只有频率为 $\Omega_0$ 整数倍的频率分量才能以 $T_0$ 为周期
\end{quote}


\subsubsection{例：周期性矩形脉冲信号的频谱}
周期为 $T_0$，占空比为 $\tau/T_0$ 的周期性矩形脉冲信号如图 \ref{fig:周期性矩形脉冲信号示意图} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw[thick,-latex] (0,-1) -- (0,2) node[below right] {$x(t)$};
        \foreach \i in {-4,-2,0,2,4} {
            \draw[very thin ] (\i,0) -- (\i,0.08);
            \draw[thick,blue] (\i-0.5,0.8) rectangle (\i+0.5,0);
        }
        \draw[thick,-latex] (-5,0) -- (5,0) node[below  left] {$t$};

        \node[below] at ( 0.5,0) {$ \dfrac{\tau}{2}$};
        \node[below] at (-0.5,0) {$-\dfrac{\tau}{2}$};
        \node[below] at ( 2, 0)   {$ T_0$};
        \node[below] at (-2, 0)   {$-T_0$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{周期性矩形脉冲信号示意图}
    \label{fig:周期性矩形脉冲信号示意图}
\end{figure}

傅立叶展开系数：
$$
A_k = \frac{1}{T_0}\int_{-\tau/2}^{\tau/2} \rme^{-\rmj k\Omega_0 t}\d t
=\frac{\rme^{-\rmj k\Omega_0\tau/2} - \rme^{\,\rmj k\Omega_0\tau/2}}{-\rmj k 2\pi}
=\frac{\tau}{T_0} \frac{\sin(k\Omega_0\tau/2)}{k\Omega_0 \tau/2}
=\frac{\tau}{T_0}\sinc\left(\frac{\tau}{T_0}k\right)
$$

其中定义采样函数 $\Sa(x)$ 和 $\sinc(x)$ 如下，$\sinc(x)$ 函数图像如图 \ref{fig:sinc(x)函数图像} 所示
\begin{align*}
    &\Sa(x) = \frac{\sin(x)}{x}, & 
    &\sinc(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines = middle, width=16cm, height=8cm,
                     xmax=10, xmin=-10, ymax=1.2, ymin=-0.3, ylabel={$\sinc(x)$}, xlabel={$x$},
                     xtick={-8,...,8}, ytick={0,1}]
            \addplot[thick,blue,domain=-8.5:8.5,samples=300] {sin(deg(pi*x)) / pi / x};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$\sinc(x)$ 函数图像}
    \label{fig:sinc(x)函数图像}
\end{figure}

\begin{quote}
    $\Sa(x)$ 函数图像与 $\sinc(x)$ 完全相似，只不过所有 $x$ 坐标在 $\sinc(x)$ 基础上乘以 $\pi$ 倍
\end{quote}

已经计算出给定的周期性矩形脉冲信号的傅立叶展开系数为：
$$
A_k = \frac{\tau}{T_0} \frac{\sin(k\Omega_0\tau/2)}{k\Omega_0 \tau/2}
=\frac{\tau}{T_0} \Sa(k\Omega_0 \tau/2)
= \frac{\tau}{T_0} \cdot \sinc\left(\frac{\tau}{T_0}k\right)
$$

以 $\Omega = k\Omega_0$ 为自变量考察 $A_k-\Omega$ 关系\\
数值点是离散的，两个数值点之间的水平间距为 $\Omega_0$\\
包络线在水平方向上的缩放取决于 $\tau/2$，竖直方向上的缩放取决于占空比 $\tau/T_0$

若不改变 $T_0$ 而使 $\tau$ 减小，则占空比减小，谱线间距不变，包络线横向拉伸、纵向压缩，如图 \ref{fig:周期性矩形脉冲信号频谱图1} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xlabel={$k\Omega_0$}, ylabel={$A_k$},ticks=none,
                     xmin=-10,xmax=10, ymin=-0.8, ymax=2.3, width=14cm, height=4cm]
            \addplot+[ycomb,domain=-8: 8,blue,thick] {2*sin(deg(x*pi/1))/(x*pi/1)};
            \addplot[domain=-8:8,blue,dashed,samples=300] {2*sin(deg(x*pi/1))/(x*pi/1)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xlabel={$k\Omega_0$}, ylabel={$A_k$},ticks=none,
                     xmin=-10,xmax=10, ymin=-0.8, ymax=2.3, width=14cm, height=4cm]
            \addplot+[ycomb,domain=-8:8,blue,thick] {1*sin(deg(x*pi/2))/(x*pi/2)};
            \addplot[domain=-8:8,blue,dashed,samples=300] {1*sin(deg(x*pi/2))/(x*pi/2)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xlabel={$k\Omega_0$},  ylabel={$A_k$},ticks=none,
                     xmin=-10,xmax=10, ymin=-0.8, ymax=2.3, width=14cm, height=4cm]
            \addplot+[ycomb,domain=-8:8,blue,thick] {0.5*sin(deg(x*pi/4))/(x*pi/4)};
            \addplot[domain=-8:8,blue,dashed,samples=300] {0.5*sin(deg(x*pi/4))/(x*pi/4)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$T_0$不变，$\tau$ 减小，占空比减小}
    \label{fig:周期性矩形脉冲信号频谱图1}
\end{figure}

若不改变$\tau$而使$T_0$增大，则占空比减小，谱线间距减小，包络线横向不变、纵向压缩，如图 \ref{fig:周期性矩形脉冲信号频谱图2} 所示\\
可以看到，$T_0$ 越大，则频谱越接近其包络线
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xlabel={$k\Omega_0$}, ylabel={$A_k$},ticks=none,
                     xmin=-10,xmax=10, ymin=-0.8, ymax=2.3, width=14cm, height=4cm]
            \addplot+[ycomb,domain=-8: 8,blue,thick,samples=25] {2*sin(deg(x*pi/1))/(x*pi/1)};
            \addplot[domain=-8:8,blue,dashed,samples=300] {2*sin(deg(x*pi/1))/(x*pi/1)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xlabel={$k\Omega_0$}, ylabel={$A_k$},ticks=none,
                     xmin=-10,xmax=10, ymin=-0.8, ymax=2.3, width=14cm, height=4cm]
            \addplot+[ycomb,domain=-8: 8,blue,thick,samples=49] {1*sin(deg(x*pi/1))/(x*pi/1)};
            \addplot[domain=-8:8,blue,dashed,samples=300] {1*sin(deg(x*pi/1))/(x*pi/1)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$T_0$ 增大，$\tau$ 不变，占空比减小}
    \label{fig:周期性矩形脉冲信号频谱图2}
\end{figure}


\subsection{连续时间傅立叶变换 CTFT}
对以$T_0$ 为周期的周期信号有：
$$
\begin{aligned}
    &x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \rme^{\,\rmj k\Omega_0t}\\
    &A_k  = \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t)\, \rme^{-\rmj k\Omega_0t} \d t
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    &x(t) = \frac{1}{T_0} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(\rmj k\Omega_0) \rme^{\,\rmj k\Omega_0t}\\
    &X(\rmj k\Omega_0) = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t) \,\rme^{-\rmj k\Omega_0t}\d t
\end{aligned}
$$

若一个周期信号的周期为 $+\infty$ 则它可以视为非周期信号\\
在上式中令 $T_0\to+\infty$，则 $\d\omega=\Omega_0=2\pi/T_0\to0$，同时令$k$的值改变以维持$\omega=k\Omega_0$ 为有限值
$$
\begin{aligned}
    &x(t) = \frac{\d\omega}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(\rmj\omega)\,\rme^{\,\rmj \omega t}
          = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\rmj\omega) \,\rme^{\,\rmj \omega t}\d\omega\\
    &X(\rmj\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\rme^{-\rmj\omega t}\d t
\end{aligned}
$$

可以看出：
\begin{enum}
    \item 傅立叶变换仍然是信号对基本函数系 $\{\rme^{\,\rmj\omega t}\}$ 的展开，所不同的是函数系中的函数是稠密的
    \item 也因此，将函数系加权线性组合出原信号时，求和号改为积分号
    \item 从傅立叶级数的角度看傅立叶变换，展开系数的每一项都是无穷小量\\
          但是由于函数系是稠密的，线性组合后成为有限量
    \item 从傅立叶变换的角度看傅立叶级数，若对周期函数进行傅立叶变换，那么频谱上是一系列冲激\\
          用数学表示为如下关系，其中 $\omega_k=k\Omega_0$
          \begin{align*}
              A_k &= \frac{\d\omega}{2\pi}X(\rmj \omega_k) &
              X(\rmj\omega_k) &= \frac{2\pi}{\d\omega}A_k = 2\pi A_k\cdot\delta(\omega-\omega_k)
          \end{align*}
          注意完整的 $X(\rmj\omega)$ 需要将 $X(\rmj\omega_k$) 对 $k$ 求和得到\emph{周期函数的傅立叶变换}
          $$
          \boxed{
          X(\rmj\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2\pi A_k \cdot\delta(\omega-k\Omega_0)
          }
          $$
          严格证明如下：
          $$
          \scrF\big[f_{T_0}(t)\big] = \mathscr F\left[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_{k}\,\rme^{\,\rmj k\Omega_0 t} \right]
          = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_{ k} \,\delta(\omega-k\Omega_0)
          $$
          也就是说，\emph{周期函数的傅立叶变换 = 其傅立叶级数的傅立叶变换}
\end{enum}


总结：非周期信号的傅立叶变换：
$$
\boxed{
    \begin{aligned}
        x(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\rmj\omega)\,\rme^{\,\rmj\omega t}\d \omega\\
        X(\rmj\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\rme^{-\rmj \omega t}\d t
    \end{aligned}
}
$$

\subsubsection{对复指数函数系的正交性的说明}
若定义内积为{\kaishu 共轭、相乘、无穷积分}则积分一般是发散的，复指数函数系也不是正交的
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \rme^{\,\rmj\omega_1 t} \rme^{-\rmj\omega_2 t} \d t
=\frac{1}{\rmj(\omega_1-\omega_2)} \rme^{\,\rmj(\omega_1-\omega_2)t}\bigg|_{-\infty}^{+\infty}
$$

然而，在傅立叶变换的语境下，$\{\rme^{\,\rmj\omega t}\;|\;\omega\in\mathbb R\}$ 是正交的\\
下式最后两个指数项的指数相差 $\rmj 2(k_1-k_2)\pi$，因此两者相等，最终结果为0
$$
\begin{aligned}
\lim_{T_0\to+\infty}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} \rme^{\,\rmj\omega_1 t} \rme^{-\rmj\omega_2 t} \d t
&=\lim_{T_0\to+\infty}\frac{1}{\rmj(\omega_1-\omega_2)} 
\Big[\rme^{-\rmj(k_1-k_2)\Omega_0 T_0/2} - \rme^{\,\rmj(k_1-k_2)\Omega_0 T_0/2} \Big]\\
&=\lim_{T_0\to+\infty}\frac{1}{\rmj(\omega_1-\omega_2)} 
\Big[\rme^{-\rmj(k_1-k_2)\pi} - \rme^{\,\rmj(k_1-k_2)\pi} \Big] = 0
\end{aligned}
$$


也就是说，傅立叶变换是从傅立叶级数派生来的，需要从傅立叶级数的角度来理解

\subsubsection{傅立叶变换的存在条件}
与傅立叶级数类似，傅立叶变换无充要的存在条件。对于充分条件，常用的有以下两种

\paragraph{平方可积条件}
若信号 $x(t)$ 在无穷区间内平方可积，则其傅立叶变换一定存在
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \d t<\infty
$$

这表明具有有限能量的信号一定存在傅立叶变换

由于周期函数一般在一个周期内能量有限，无穷个区间后一般能量无限\\
导致周期函数不存在一般的傅立叶变换，但可用奇异函数表示（广义傅立叶变换）

\paragraph{Dirichlet条件}
若信号 $x(t)$ 满足以下三条，则其傅立叶变换一定存在
\begin{enum}
    \item 在无穷区间内绝对可积
        $$
        \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)| \d t<\infty
        $$
    \item 在任何有限区间内只有有限个极值点，且极值为有限值
    \item 在任何有限区间内只有有限个第一类间断点
\end{enum}

\subsubsection{傅立叶变换的性质}
连续时间傅立叶变换的性质如表 \ref{tab:连续时间傅立叶变换的性质} 所示

%\begin{table}[htpb]
%    \centering
%    \caption{连续时间傅立叶变换的性质}
%    \label{tab:连续时间傅立叶变换的性质}
%    \begin{tabular}{cc}
%         \toprule
%          性质     & 表达式   \\
%         \midrule
%          线性性质 & $ax_1(t)+bx_2(t) \to aX_1(\rmj\omega) + bX_2(\rmj\omega)$ \\
%          对偶性质 & $X(\rmj t) \to 2\pi x(-\omega)$\\
%          \hline
%          共轭对称 & $x^{\color{blue}*}(t) \to X^{\color{blue}*}({\color{blue}-}\rmj\omega)$\\
%          尺度变换 & $x({\color{blue}a}t) \to X(\rmj\omega{\color{blue}/a}){\color{blue}\,/\,|a|}$\\
%          \hline
%          时移性质 & $x(t-t_0) \to {\color{blue}\rme^{-\rmj\omega t_0}}X(\rmj\omega)$ \\
%          频移性质 & ${\color{blue}\rme^{\,\rmj\omega_0t}}x(t) \to X(\rmj\omega-\rmj\omega_0)$ \\
%          \hline
%          \vspace{-12pt}\\
%          时域微分 & ${\color{blue}\dfrac{\d^n}{\d t^n}}x(t) \to {\color{blue}(\rmj\omega)^n}X(\rmj\omega)$\\
%          频域微分 & ${\color{blue}t^n}x(t) \to {\color{blue}\rmj^n\dfrac{\d^n}{\d\omega^n}}X(\rmj\omega)$\\
%          \vspace{-12pt}\\
%          \hline 
%          时域卷积 & $x_1(t)*x_2(t) \to X_1(\rmj\omega)\cdot X_2(\rmj\omega)$\\
%          时域相乘 & $x_1(t)\cdot x_2(t) \to X_1(\rmj\omega) * X_2(\rmj\omega) {\color{blue}/2\pi}$\\
%          \hline
%          \vspace{-12pt}\\
%          Parseval 定理 & $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \d t%
%          = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \big|X(\rmj\omega)\big|^2 \d\omega$\\
%         \bottomrule
%    \end{tabular}
%\end{table}

\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{连续时间傅立叶变换的性质}
    \label{tab:连续时间傅立叶变换的性质}
    \begin{tabular}{cM}
         \toprule
         性质     & \multicolumn{2}{c}{表达式\quad\quad\;}  \\
         \midrule
          线性性质 & ax_1(t)+bx_2(t) & aX_1(\rmj\omega) + bX_2(\rmj\omega) \\
          对偶性质 &  X(\rmj t) & 2\pi \cdot x(-\omega) \\
          \midrule
          共轭对称 &  x^{\color{blue}*}(t) & X^{\color{blue}*}({\color{blue}-}\rmj\omega) \\
          尺度变换 &  x({\color{blue}a}t) & X(\rmj\omega{\color{blue}/a}){\color{blue}\,/\,|a|} \\
          \midrule
          时移性质 &  x(t-t_0) & {\color{blue}\rme^{-\rmj\omega t_0}}X(\rmj\omega)  \\
          频移性质 &  {\color{blue}\rme^{\,\rmj\omega_0t}}x(t) & X(\rmj\omega-\rmj\omega_0)  \\
          \midrule
          时域微分 &  {\color{blue}\dfrac{\d^n}{\d t^n}}x(t) & {\color{blue}(\rmj\omega)^n}X(\rmj\omega) \\
          频域微分 &  {\color{blue}(-\rmj t)^n}x(t) & {\color{blue}\dfrac{\d^n}{\d\omega^n}}X(\rmj\omega) \\
          \midrule
          时域积分 & {\color{blue}\displaystyle\int_{-\infty}^{t}}x(t){\color{blue}\,\d t} &%
          {\color{blue}\dfrac{1}{\rmj\omega}}X(\rmj\omega){\color{blue}+\pi X(0)\,\delta(\omega)}\\
          频域积分 & \dfrac{x(t)}{\color{blue}-\rmj t} + {\color{blue}\pi\,x(0)\,\delta(t)} & %
                     {\color{blue}\displaystyle\int_{-\infty}^{\omega}} X(\rmj\omega){\color{blue}\;\d\omega}\\
          \midrule
          卷积性质 &  x_1(t)*x_2(t) & X_1(\rmj\omega)\cdot X_2(\rmj\omega) \\
          调制性质 &  x_1(t)\cdot x_2(t) & X_1(\rmj\omega) * X_2(\rmj\omega) {\color{blue}/2\pi} \\
          \midrule
          Parseval 定理 &  \multicolumn{2}{c}{$\;\,\;\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \d t%
          = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \big|X(\rmj\omega)\big|^2 \d\omega$} \\
         \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

%\paragraph{对偶性质}
%\begin{align*}
%    \mathscr F\big[ x(t) \big] = X(\rmj\omega)
%    \qquad\Longrightarrow\qquad 
%    \mathscr F\big[ X(\rmj t)\big] = 2\pi x(-\omega)
%\end{align*}

\paragraph{共轭对称性}
证明如下：
\begin{align*}
    \mathscr F\big[x^*(t)\big] 
    &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^*(t) \rme^{-\rmj\omega t} \d t
     = \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \rme^{\,\rmj\omega t} \d t\right]^*
     = X^*(-\rmj\omega)
\end{align*}

若 $x(t)$ 是实函数，即 $x(t) = x^*(t)$，则$X(\rmj\omega) = X^*(-\rmj\omega)$\\
\emph{实函数的频谱：实部偶函数、虚部奇函数；幅度偶函数、相位奇函数}

\paragraph{奇偶性}
\emph{偶函数的频谱是偶函数，奇函数的频谱是奇函数}
\begin{align*}
    X(\rmj\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \,\rme^{-\rmj\omega t} \d t &
    X(\rmj\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \,\rme^{-\rmj\omega t} \d t \\
                  &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(-t)\,\rme^{-\rmj\omega t} \d t &
                  &= \int_{-\infty}^{+\infty}-x(-t)\,\rme^{-\rmj\omega t} \d t \\
                  &= X(-\rmj\omega) &
                  &=-X(-\rmj\omega)
\end{align*}
若函数 $x(t)$ 还是实函数，则依据 $X(\rmj\omega) = X^*(-\rmj\omega)$ 有： \\
\emph{实偶函数的频谱是实偶函数，实奇函数的频谱是虚奇函数}
\begin{align*}
    X^*(\rmj\omega) &= X(-\rmj\omega) = X(\rmj\omega) &
    X^*(\rmj\omega) &= X(-\rmj\omega) = -X(\rmj\omega)
\end{align*}
若将 $x(t)$ 分解为偶部$x_{\rm e}(t)$与奇部 $x_{\rm o}(t)$\\
则$X(\rmj\omega)$ 的实部必定由 $x_{\rm e}(t)$ 变换来，虚部必定由 $x_{\rm o}(t)$ 变换来
\begin{align*}
    X_{\rm e}(\rmj\omega) &= \operatorname{Re} \big[X(\rmj\omega)\big] &
    X_{\rm o}(\rmj\omega) &= \rmj\operatorname{Im} \big[X(\rmj\omega)\big] &
\end{align*}

\paragraph{尺度变换}
时域尺度变换性质表明：
\begin{enum}
    \item 若时域翻转，则频域也翻转
    \item 若时域拉伸 $a$ 倍 则频域压缩 $a$ 倍
\end{enum}

\paragraph{时移性质/频移性质}
已知时移性质，通过对偶证明频移性质：
\begin{align*}
    \mathscr F\big[x(t-t_0)\big] = X(\rmj\omega) \,\rme^{-\rmj\omega t_0}
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    \mathscr F\big[X(\rmj t)\,\rme^{-\rmj \omega_0 t}\big] = 2\pi \cdot x(-\omega-\omega_0)
\end{align*}
将 $X(\rmj t)$ 记为新的 $x(t)$，则 $2\pi\,x(-\omega)$ 成为新的 $X(\rmj\omega)$
\begin{align*}
    \mathscr F\big[x(t) \,\rme^{-\rmj\omega_0 t}\big] = X\big(\rmj(\omega+\omega_0)\big)
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    \mathscr F\big[x(t) \,\rme^{\,\rmj\omega_0 t}\big] = X\big(\rmj(\omega-\omega_0)\big)
\end{align*}

\begin{quote}
    第一步中利用对偶性质，仅有 $\omega$ 本身变为 $-\omega$，而 $t_0$ 换为 $\omega_0$ 后符号不变\\
    第二步中进行函数代换，$-\omega-\omega_0$ 整体成为 $\omega+\omega_0$\\
    第二步代换的特殊性在于是将 $x(-\omega)$ 代换为 $X(\rmj\omega)$ 而不是将 $x(-\omega-\omega_0)$ 进行代换
\end{quote}

也可调换这两步的先后顺序，如下所示：
\begin{align*}
    \mathscr F\Big[ X\big(\rmj t\big)\Big] = 2\pi\,x(-\omega)
    &\qquad\Longrightarrow\qquad 
    \mathscr F\Big[ X\big(\rmj (t-t_0)\big)\Big] = 2\pi\,x(-\omega)\, \rme^{-\rmj\omega t_0}\\
    &\qquad\Longrightarrow\qquad 
    \mathscr F\Big[2\pi\,x(-t)\,\rme^{-\rmj\omega_0 t}\Big] = 2\pi X\big(\rmj(-\omega-\omega_0)\big)\\
    &\qquad\Longrightarrow\qquad 
    \mathscr F\Big[x(t)\,\rme^{\,\rmj\omega_0 t}\Big] = X\big(\rmj(\omega-\omega_0)\big)
\end{align*}

\begin{quote}
    第二步中利用对偶性质，仅有 $\omega$ 本身变为 $-\omega$，而 $t_0$ 换为 $\omega_0$ 后符号不变\\
    第三步中利用时域翻转，在 $t$ 换为 $-t$ 的同时 $\omega$ 换为 $-\omega$，但 $\omega_0$ 符号不变
\end{quote}

\paragraph{时域微分性质}
若 $x(t)$ 在 $\mathbb R$ 上连续或仅有有限个可去间断点，且 $\lim\limits_{|t|\to\infty} x(t)=0$，则时域微分性质成立，证明如下：
\begin{align*}
    \mathscr F\left[ \frac{\d}{\d t}x(t) \right] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \rme^{-\rmj\omega t} \d\big(x(t)\big)\\
    &= x(t)\,\rme^{-\rmj\omega t} \bigg|_{-\infty}^{+\infty} 
    + (\rmj\omega) \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\rme^{-\rmj\omega t} \d t\\
    &= \rmj\omega X(\rmj\omega)
\end{align*}

\paragraph{时域积分性质}
满足收敛条件时，时域积分性质可以直接从微分性质导出，如下式第一行。否则必须重新推导
\begin{align*}
    \lim_{t\to+\infty}\int_{-\infty}^t x(t)  \d t&=0 &
                                                 &\Longrightarrow &
    \mathscr F\left[\int_{-\infty}^{t}x(t)\d t\right] &= \frac{1}{\rmj\omega} X(\rmj\omega)\\
    \lim_{t\to+\infty}\int_{-\infty}^t x(t)  \d t& \ne 0 &
                                                 &\Longrightarrow &
    \mathscr F\left[\int_{-\infty}^{t}x(t)\d t\right] &= \frac{1}{\rmj\omega} X(\rmj\omega) + \pi X(0)\,\delta(\omega)
\end{align*}
实际上可以看到，满足收敛条件也就意味着 $X(0)=0$，从而第二行转化为第一行
\begin{align*}
    X(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \rme^{-\rmj\omega t}\d t \bigg|_{\omega=0}
         = \lim_{t\to+\infty} \int_{-\infty}^{t} x(t) \d t
\end{align*}

对一般的时域积分性质的证明：将积分转化为与 $u(t)$ 的卷积 
\begin{align*}
    \mathscr F\left[\int_{-\infty}^{t}x(t)\d t\right]
     = \mathscr F\left[x(t) * u(t) \right] 
    &= X(\rmj\omega) \cdot \left[ \frac{1}{\rmj\omega} + \pi \delta(\omega)\right]\\
    &= \frac{1}{\rmj\omega} X(\rmj\omega) + \pi\, X(0)\,\delta(\omega)
\end{align*}

\paragraph{频域积分性质}
利用对偶性质： 
\begin{align*}
    X(\rmj t) &\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;} 2\pi\,x(-\omega) \\
    \int_{-\infty}^t X(\rmj t) \d t &\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;} 
    \frac{1}{\rmj\omega}2\pi\,x(-\omega) + 2\pi^2\,x(0) \,\delta(\omega)  \\
    \frac{1}{\rmj t}\,x(-t) + \pi\,x(0) \,\delta(t) &\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;} 
    \int_{-\infty}^{-\omega} X(\rmj \omega) \d\omega  \\
    \frac{1}{-\rmj t}\,x(t) + \pi\,x(0) \,\delta(t) &\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;} 
    \int_{-\infty}^{\omega} X(\rmj \omega) \d\omega 
\end{align*}


\paragraph{卷积性质}
令 $y(t) = x(t) * h(t)$ 则：
\begin{align*}
    Y(\rmj\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,h(t-\tau) \d\tau\right] 
                     \rme^{-\rmj\omega t} \d t\\
                  &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\left[ \int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau)\,
                     \rme^{-\rmj\omega (t-\tau)}\d(t-\tau)\right] \rme^{-\rmj\omega \tau}\d\tau\\
                  &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\, H(\rmj\omega)\, \rme^{-\rmj\omega\tau} \d\tau\\
                  &= X(\rmj\omega) \cdot H(\rmj\omega)
\end{align*}

\paragraph{调制性质}
利用对偶性证明调制性质：
\begin{align*}
    %\mathscr F\big[x(t)*h(t)] = \mathscr F\big[y(t)\big] = Y(\rmj\omega) = X(\rmj\omega) \cdot H(\rmj\omega)\\
    %\mathscr F\big[Y(\rmj t)] = 2\pi\, y(-\omega)
    \mathscr F\big[x(t)*h(t)] =  X(\rmj\omega) \cdot H(\rmj\omega)
    &\qquad\Longrightarrow\qquad 
    \mathscr F\big[X(\rmj t) \cdot H(\rmj t)\big] = 2\pi\, x(-\omega) * h(-\omega)
\end{align*}
记 $X(\rmj t)$ 为新的 $x(t)$，记 $H(\rmj t)$ 为新的 $h(t)$\\
由于 $\scrF\big[X(\rmj t)] = 2\pi\,x(-\omega)$，$\scrF\big[H(\rmj t)] = 2\pi\,h(-\omega)$\\
则需要将 $2\pi\,x(-\omega)$ 换为新的 $X(\rmj\omega)$，将 $2\pi\,h(-\omega)$ 换为新的 $H(\rmj\omega)$
\begin{align*}
    \mathscr F\big[x(t) \cdot h(t)\big] = \frac{1}{2\pi}\, X(\rmj\omega) * H(\rmj\omega)
\end{align*}

\paragraph{Paseval 定理}
Paseval 定理表明：能量既可以在时域中求出，又可以在频域中求出\\
$|X(\rmj\omega)|^2$ 称为信号的\emph{能量谱密度}
\begin{align*}
    \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot x^*(t) \d t 
                &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot 
                   \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(\rmj\omega)\,\rme^{-\rmj\omega t}\d\omega\right] \d t\\
                &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(\rmj\omega) 
                   \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \,\rme^{-\rmj\omega t} \d t\right] \d\omega\\
                &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(\rmj\omega) \cdot X(\rmj\omega) \d\omega
\end{align*}

对周期信号也有Paseval定理，但周期信号总能量无限，只能功率形式，$|A_k|^2$ 称为\emph{功率谱密度}
$$
\frac{1}{T_0} \int_{T_0} |x(t)|^2 \d t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |A_k|^2
$$

\subsubsection{常用函数的傅立叶变换}

\paragraph{单边指数衰减信号}
仅在 $t>0$ 出现的指数衰减信号，其中 $a>0$
\begin{align*}
    x(t) &= \rme^{-at}u(t)&
    X(\rmj\omega) &= \int_{0}^{+\infty} \rme^{-(a+\rmj\omega)t}\d t 
    ={\color{blue}\frac{1}{a+\rmj\omega}}
\end{align*}

幅度谱与相位谱：
\begin{align*}
    |X(\rmj\omega)|&=\frac{1}{\sqrt{a^2+\omega^2}} &
    \arg X(\rmj\omega) &= -\arctan \frac{\omega}{a}
\end{align*}

指数衰减信号时域图像、频域图像如图 \ref{fig:指数衰减信号及其幅度谱、相位谱} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ticks=none,axis lines=middle,xmin=-0.2,xmax=2.2,ymin=-0.2,ymax=1.8,
            height=4cm,width=6cm,xlabel={$t$},ylabel={$x(t)$}]
            \addplot[thick,blue,domain=0:2] {exp(-2*x)}; 
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ticks=none,axis lines=middle,xmin=-8.2,xmax=8.2,ymin=-0.1,ymax=0.9,
            height=4cm,width=6cm,xlabel={$\omega$},ylabel={$|X(\rmj\omega)|$}]
            \addplot[thick,blue,domain=-7:7,samples=100] {1/sqrt(4+x^2)}; 
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ticks=none,axis lines=middle,xmin=-5.2,xmax=5.2,ymin=-2,ymax=2,
            height=4cm,width=6cm,xlabel={$\omega$},ylabel={$\arg X(\rmj\omega)$}]
            \addplot[thick,blue,domain=-4:4] {-rad(atan(x/2))}; 
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{指数衰减信号及其幅度谱、相位谱}
    \label{fig:指数衰减信号及其幅度谱、相位谱}
\end{figure}

\paragraph{双侧指数衰减信号}
对于双侧指数衰减信号如下
$$
x(t) = \rme^{-a|t|}, \qquad
a>0
$$

频谱如下（可以验证，偶实函数的频谱也是偶实函数，则可以直接绘制2D频谱图）
$$
X(\rmj \omega) = \int_{-\infty}^{0} \rme^{\,(a-\rmj\omega)t}\d t + \int_{0}^{+\infty} \rme^{\,(-a-\rmj\omega)t} \d t
={\color{blue} \frac{1}{a- \rmj\omega} + \frac{1}{a + \rmj\omega}}
$$

双边指数衰减信号的时域、频域图像如图 \ref{fig:双边指数衰减函数的时域图像与频域图像} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ticks=none,axis lines=middle,xmin=-5.2,xmax=5.2,ymin=-0.2,ymax=1.5,
            height=5cm,width=8cm,xlabel={$t$},ylabel={$x(t)$}]
            \addplot[thick,blue,domain=-4:4,samples=100] {exp(-2*abs(x))}; 
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[ticks=none,axis lines=middle,xmin=-5.2,xmax=5.2,ymin=-0.2,ymax=1.5,
            height=5cm,width=8cm,xlabel={$\omega$},ylabel={$X(\rmj\omega)$}]
            \addplot[thick,blue,domain=-4:4,samples=100] {4/(4+x^2)}; 
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{双边指数衰减函数的时域图像与频域图像}
    \label{fig:双边指数衰减函数的时域图像与频域图像}
\end{figure}

\paragraph{单位冲激函数}
单位冲激函数 $\delta(t)$ 的频谱：
\begin{align*}
    &x(t) = \delta(t)&
    &X(\rmj\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\,\rme^{-\rmj\omega t}\d t = 1
\end{align*}

因此，$\delta(t)$ 包含了所有频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都完全相同

对 $X(\rmj\omega)$ 求傅立叶反变换得到：
$$
\boxed{
    \int_{-\infty}^{+\infty} \rme^{\,\rmj\omega t}\d\omega = 2\pi\,\delta(t)
}
$$

\paragraph{单位常值函数}
单位常值函数的频谱：
\begin{align*}
    &x(t)=1 &
    &X(\rmj\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \rme^{-\rmj\omega t} =2\pi\,\delta(-t) = {\color{blue}2\pi\,\delta(t)} 
\end{align*}

\paragraph{单位阶跃函数}
直接对单位冲激函数使用积分性质即可：
\begin{align*}
    u(t) &= \begin{cases}
        1, & t>0\\
        0, & t<0
    \end{cases} &
        U(\rmj\omega) &= {\color{blue}\frac{1}{\rmj\omega} + \pi\,\delta(\omega)}
\end{align*}

\paragraph{符号函数}
符号函数可转化为单位阶跃函数：
\begin{align*}
    \operatorname{sgn}(t) &= u(t) - u(-t) &
    X(\rmj\omega) &= \color{blue}\frac{2}{\rmj\omega}
\end{align*}

\paragraph{单次矩形脉冲}
对于如下宽度为$2\tau$ 的偶矩形脉冲，其频谱为：
\begin{align*}
    x(t) &= 
    \begin{cases}
        1, & |t|<\tau\\
        0, & |t|>\tau 
    \end{cases} ,&
    X(\rmj\omega) &= \int_{-\tau}^{\tau}\rme^{-\rmj\omega t}\d t 
    ={\color{blue}\frac{2\sin(\tau\omega)}{\omega} = 2\tau\sinc\left(\frac{\tau}{\pi}\omega\right)}
\end{align*}

单次矩形脉冲的时域、频域图像如图 \ref{fig:单次矩形脉冲函数的时域图像和频域图像} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2) node[below right] {$x(t)$};
        \draw[thick,blue] (-0.5,0) -- ++(0,0.8) -- ++(1,0) -- ++(0,-0.8);
        \draw[-latex] (-2,0) -- (2,0) node[below  left] {$t$};
        \node[below] at ( 0.5,0) {${\color{white}-}\tau{\color{white}-}$};
        \node[below] at (-0.5,0) {$-\tau$};
    \end{tikzpicture}\qquad
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines = middle, width=8cm, height=4.1cm,
                     xmax=8, xmin=-8, ymax=1.2, ymin=-0.3, ylabel={$X(\rmj\omega)$}, xlabel={$\omega$},
                     ticks=none]
            \addplot[thick,blue,domain=-6.5:6.5,samples=300] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
            \draw[blue] (axis cs:0,1) node[left] {$2\tau$};
            \draw[blue] (axis cs:1.2,0.05) node[below left] {$\frac{\pi}\tau$};
            \fill[blue] (axis cs:1,0) circle[radius=1.5pt];
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{单次矩形脉冲函数的时域图像和频域图像}
    \label{fig:单次矩形脉冲函数的时域图像和频域图像}
\end{figure}

\paragraph{理想低通滤波器}
对理想低通滤波器的频谱进行傅立叶反变换，得到时域形式（或依据对偶性质）\\
由于经常用作系统的单位冲激响应/频率响应，字母写为 $h(t),H(\rmj\omega)$
\begin{align*}
    &h(t) = {\color{blue} \frac{\sin(Wt)}{\pi t} = \frac{W}{\pi}\sinc\left(\frac{W}{\pi}t\right)}&
    &H(\rmj\omega) = \begin{cases}
        1, &|\omega|<W \\
        0, &|\omega|>W
    \end{cases}
\end{align*}

单次矩形脉冲的时域、频域图像如图 \ref{fig:理想低通滤波器的时域图像和频域图像} 所示\\
可见：理想低通滤波器系统不是因果的，不实用
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines = middle, width=8cm, height=4.1cm,
                     xmax=8, xmin=-8, ymax=1.2, ymin=-0.3, ylabel={$h(t)$}, xlabel={$t$},
                     ticks=none]
            \addplot[thick,blue,domain=-6.5:6.5,samples=300] {sin(deg(x*pi))/(x*pi)};
            \draw[blue] (axis cs:0,1) node[left] {$W/\pi$};
            \draw[blue] (axis cs:1.3,0.05) node[below left] {$\frac{\pi}W$};
            \fill[blue] (axis cs:1,0) circle[radius=1.5pt];
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\qquad
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2) node[below right] {$H(\rmj\omega)$};
        \draw[thick,blue] (-0.5,0) -- ++(0,0.8) -- ++(1,0) -- ++(0,-0.8);
        \draw[-latex] (-2,0) -- (2,0) node[below  left] {$\omega$};
        \node[below] at ( 0.5,0) {$ W$};
        \node[below] at (-0.5,0) {$-W$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{理想低通滤波器的时域图像和频域图像}
    \label{fig:理想低通滤波器的时域图像和频域图像}
\end{figure}

\paragraph{指数函数}
以 $\omega_0$ 为周期的指数信号
\begin{align*}
    x(t) &= \rme^{\,\rmj\omega_0 t} &
    X(\rmj\omega) &= \color{blue} 2\pi\,\delta(\omega-\omega_0)
\end{align*}

\paragraph{三角函数}
余弦函数为周期函数，因此频域为一些冲激：
\begin{align*}
    x(t) &= \cos(\omega_0t) = \frac{\rme^{\,\rmj\omega_0t}+\rme^{-\rmj\omega_0t}}{2} &
    X(\rmj\omega) &= \color{blue}\pi\Big[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\Big]
\end{align*}

直接利用时移性质，或者先求傅立叶级数系数 $A_k$ 再求傅立叶变换，两种方式得到相同的结果

\paragraph{周期性冲激串}
周期性冲激串可以直接进行傅立叶变换如下：
\begin{align*}
    x(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t-kT_0) &
    X(\rmj\omega) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-kT_0) \,\rme^{-\rmj\omega t}\d t
    = \color{blue}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \rme^{-\rmj kT_0\omega}
\end{align*}

然而，这个频域函数的图像是不直观的，不便于使用\\
通常利用其周期性，先进行展开为傅立叶级数，再利用傅立叶级数与傅立叶变换的关系转化为傅立叶变换
\begin{align*}
    A_k &= \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_0) \,\rme^{-\rmj k\Omega_0t} \d t 
    = \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} \delta(t)\,\rme^{-\rmj k\Omega_0 t} \d t 
    = \frac{1}{T_0} \\
    x(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \,\rme^{\,\rmj k\Omega_0 t} 
    = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T_0} \,\rme^{\,\rmj k\Omega_0t}
\end{align*}

利用 $A_k$ 写出其傅立叶变换式（或直接对傅立叶级数形式的 $x(t)$ 进行傅立叶变换）
\begin{align*}
    x(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t-kT_0) &
    X(\rmj\omega) &= 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \,\delta(\omega-k\Omega_0) 
    = \color{blue}\Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-k\Omega_0)
\end{align*}

也就是说，周期性冲激串的傅里叶变换也是周期性冲激串，图像见图 \ref{fig:周期性冲激串的时域与频域图像}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[above left] {$t$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[below right]{$x(t)$};
        \draw[thick,blue,-latex] (-2,0) node[below]{$-2T_0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] (-1,0) node[below]{$ -T_0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] ( 0,0) node[below left]{$0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] ( 1,0) node[below]{$  T_0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] ( 2,0) node[below]{$ 2T_0$} -- ++(0,2);
        \draw[blue] (0,2) node[left] {$1$};
    \end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[white] (-1,-0.5) rectangle (1,3);
        \node at (0,1.5) {$\xrightarrow{\;\;\scrF\;\;}$}; 
    \end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[above left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[below right]{$X(\rmj\omega)$};
        \draw[thick,blue,-latex] (-2,0) node[below]{$-2\Omega_0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] (-1,0) node[below]{$ -\Omega_0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] ( 0,0) node[below left]{$0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] ( 1,0) node[below]{$  \Omega_0$} -- ++(0,2);
        \draw[thick,blue,-latex] ( 2,0) node[below]{$ 2\Omega_0$} -- ++(0,2);
        \draw[blue] (0,2) node[left] {$\Omega_0$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{周期性冲激串的时域与频域图像}
    \label{fig:周期性冲激串的时域与频域图像}
\end{figure}

事实上，两种形式的傅立叶变换是相等的，对第二种形式进行连续时间傅立叶级数展开就得到第一种\\
这时应将 $\omega$ 视为新的自变量，其周期为 $\Omega_0$\\
它进行傅立叶级数展开后变换到频域 $\Omega$ 中，基频为 $2\pi/\Omega_0=T_0$
\begin{align*}
    B_k &= \frac{1}{\Omega_0} \int_{-\Omega_0/2}^{\Omega_0/2} \Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-k\Omega_0) 
    \,\rme^{-\rmj kT_0 \Omega} \d\omega
    = \int_{-\Omega_0/2}^{\Omega_0/2}\delta(\omega) \,\rme^{-\rmj kT_0 \Omega} \d\omega = 1\\
    X(\rmj\omega) &=\Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-k\Omega_0) 
    =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} 1\cdot \rme^{\,\rmj kT_0\Omega}
    =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \rme^{-\rmj kT_0\omega}
\end{align*}



\subsubsection{信号的带宽}
大多数信号的能量主要集中在低频分量\\
工程上一般只要传输占据大多数能量的频率分量即可满足要求

一般来说定义 $X(\omega)$ 下降到最大值的 $1/\sqrt{2}$ 倍时对应的频率范围称为 $3\;\rm dB$ 带宽

对于频谱（或其包络）为 $\sinc(x)$ 类函数的信号，其带宽一般定义为主瓣宽度



\subsection{连续时间LTI系统的频域分析}

\subsubsection{频域响应与频域分析}

LTI系统对复指数信号 $\rme^{\,\rmj\omega_0t}$ 的响应为：
$$
\begin{aligned}
    h(t) * \rme^{\,\rmj\omega_0t} &= \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \,\rme^{\,\rmj\omega_0(t-\tau)} \d\tau\\
                                  &= \rme^{\rmj\omega_0t} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)\,\rme^{-\rmj\omega_0 \tau}\d\tau\\
                                  &= H(\rmj\omega) \cdot \rme^{\rmj\omega_0t}
\end{aligned}
$$

因此，复指数信号 $\rme^{\,\rmj\omega_0t}$ 是LTI系统的特征信号\\
其特征函数 $H(\rmj\omega)$ 是单位冲激响应 $h(t)$ 的傅里叶变换，称为系统的\emph{频率响应}\\
由于 $H(\rmj\omega)$ 与 $h(t)$ 作为傅立叶变换对是一一对应的，$H(\rmj\omega)$ 也可完全描述LTI系统

根据傅里叶变换的卷积性质：
\begin{align*}
    y(t) = x(t) * h(t) 
    \qquad\Longrightarrow\qquad
    Y(\rmj\omega) = X(\rmj\omega) \cdot H(\rmj\omega)
\end{align*}

可以这样理解：\\
输入 $x(t)$ 对 $\rme^{\,\rmj\omega t}$ 分解后，$X(\rmj\omega)$ 对时域为常数，
$\rme^{\,\rmj\omega t}$ 作为特征信号输出为 $H(\rmj\omega)\cdot \rme^{\,\rmj\omega t}$
$$
x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\rmj\omega)\,\rme^{\,\rmj\omega t}\,\d\omega
\qquad\longrightarrow\qquad
y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\rmj\omega)H(\rmj\omega)\,\rme^{\,\rmj\omega t}\d\omega
$$

频域分析：
$x(t)\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;}X(\rmj\omega)\xrightarrow{\;\;\rm LTI\;\;}%
Y(\rmj\omega) = H(\rmj\omega)X(\rmj\omega)\xrightarrow{\;\;\mathscr F^{-1}\;\;} y(t)$\\
此过程避免了时域分析的卷积运算，而 $\scrF,\scrF^{-1}$ 往往可以通过\emph{查表}实现

\subsubsection{例：余弦载波调幅解调}
两个信号在时域相乘可视为幅度调制，在频域内表现为卷积
$$
x_1(t)\cdot x_2(t)
\qquad\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;}\qquad
\frac{1}{2\pi}X_1(\rmj\omega)*X_2(\rmj\omega)
$$

例如：用余弦信号$p(t) = \cos\omega_0t$ 作为载波，将 $s(t)$ 调幅其上：$r(t) = s(t)\cdot p(t)$\\
$$
\begin{aligned}
    P(\rmj\omega) &= \pi\big[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\big]\\
    R(\rmj\omega) &= \frac{1}{2\pi} S(\rmj\omega) * P(\rmj\omega)\\
                  &= \frac{1}{2} S\big[\rmj(\omega-\omega_0)\big] + \frac{1}{2} S\big[\rmj(\omega+\omega_0)\big]
\end{aligned}
$$

若要解调，则再次调制后滤波即可\\
调幅与解调的过程如图 \ref{fig:余弦调幅与解调} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[below left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[right] {$S(\rmj\omega)$};
        \draw[thick,blue] (-0.4,0) -- +(0.4,1) node[right]{$1$} -- +(0.8,0);
        \draw[thick,red,-latex]  (-1,0) node[below]{$-\omega_0$} -- 
            node[left]{\small$P(\rmj\omega)$} ++(0,1) node[above] {$\pi$};
        \draw[thick,red,-latex]  ( 1,0) node[below]{$ \omega_0$} -- ++(0,1) node[above] {$\pi$};
    \end{tikzpicture}
    \qquad
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[below left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (-0,-0.5) -- (0,2.5) node[right] {$R(\rmj\omega)$};
        \draw[thick,blue] (-1.4,0) -- +(0.4,0.5) node[above]{$1/2$} -- ++(0.8,0);
        \draw[blue] (-1,0) node[below] {$-\omega_0$};
        \draw[thick,blue] ( 0.6,0) -- +(0.4,0.5) node[above]{$1/2$} -- ++(0.8,0);
        \draw[blue] ( 1,0) node[below] {$ \omega_0$};
    \end{tikzpicture}
    \\
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[below left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (-0,-0.5) -- (0,2.5) node[right] {$R(\rmj\omega)*P(\rmj\omega)$};
        \draw[thick,blue] (-2.4,0) -- +(0.4,0.25) node[above]{$1/4$} -- ++(0.8,0);
        \draw[blue] (-2,0) node[below] {$-2\omega_0$};
        \draw[thick,blue] ( 1.6,0) -- +(0.4,0.25) node[above]{$1/4$} -- ++(0.8,0);
        \draw[blue] ( 2,0) node[below] {$ 2\omega_0$};
        \draw[thick,blue] (-0.4,0) -- +(0.4,0.5) node[right]{$1/2$} -- ++(0.8,0);
        \draw[thick,red]  (-1,0) -- ++(0,2) -- ++(1,0) node[below right]{$2$} -- ++(1,0) 
            -- node[above right] {$H(\rmj\omega)$} ++(0,-2);
    \end{tikzpicture}
    \qquad
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[below left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[right] {$S(\rmj\omega)$};
        \draw[blue  ] (0,2.4) node[below right] {$R*P\cdot H$};
        \draw[thick,blue] (-0.4,0) -- +(0.4,1) node[right]{$1$} -- +(0.8,0);
    \end{tikzpicture}
    \caption{余弦调幅与解调}
    \label{fig:余弦调幅与解调}
\end{figure}

\subsubsection{用线性常微分方程表示的系统}
对LCCDE两侧取傅立叶变换：
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^N a_k \frac{\d^ky(t)}{\d t^n} = \sum_{k=0}^M b_k\frac{\d^k x(t)}{\d t^n}
&\qquad\Longrightarrow\qquad 
\left[\sum_{k=0}^N a_k (\rmj\omega)^k\right] Y(\rmj\omega) = \left[\sum_{k=0}^M b_k (\rmj\omega)^k\right] X(\rmj\omega)\\
&\qquad\Longrightarrow\qquad 
\boxed{
H(\rmj\omega) = \frac{Y(\rmj\omega)}{X(\rmj\omega)} 
= \frac{\sum\limits_{k=0}^Nb_k(\rmj\omega)^k}{\sum\limits_{k=0}^Ma_k(\rmj\omega)^k} 
}
\end{aligned}
$$

可以看出，由LCCDE描述的LTI系统的频率响应 $H(\rmj\omega)$ 为有理函数\\
$H(\rmj\omega)$ 比较容易从LCCDE中获得，取傅立叶反变换即可得到 $h(t)$

例如：
$$
\frac{\d^2y(t)}{\d t^2} + 6 \frac{\d y(t)}{\d t} + 8y(t) = \frac{\d x(t)}{\d t}+3x(t)
$$

取傅立叶变换可得到：
$$
\begin{aligned}
    &H(\rmj\omega) = \frac{\rmj\omega+3}{(\rmj\omega)^2+6(\rmj\omega)+8} 
    = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2+\rmj\omega}+\frac{1}{4+\rmj\omega}\right]\\
\end{aligned}
$$

取傅立叶反变换：
$$
h(t) = \scrF^{-1}\big[H(\rmj\omega)\big] = \frac{1}{2} \big[\rme^{-2t}+\rme^{-4t}\big] u(t)
$$

\section{离散时间LTI系统的频域分析}

\subsection{离散时间LTI系统的特征函数}

$z^n$ 是一切离散时间LTI系统的特征函数，其特征值记为 $H(z)$：
$$
\begin{aligned}
    z^n * h[n] &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k] \,z^{n-k}\\
               &= z^n  {\color{blue}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k]\,z^{-k}}\\
               &= z^n \cdot {\color{blue}H(z)}
\end{aligned}
$$

若能将任意输入信号 $x[n]$ 对 $\{z_k^n \,|\,k\in\mathbb Z\}$ 线性分解，则可方便地借助 $H(z)$ 得出响应 $y[n]$
$$
x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k z_k^n 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k H(z_k) z_k^n
$$

对于频域分析来说，取 $|z|=1$ 得到基本函数集 $\{z^n = \rme^{\,\rmj\omega n}\,|\,\omega\in \mathbb R\}$\\
注意 $\omega/2\pi\in\mathbb Q$ 时 $\rme^{\,\rmj\omega n}$ 才有周期性

\subsection{离散时间傅立叶级数DFS}
对于以 $N$ 为基波周期的复指数函数系 $\{\exp(\rmj k \frac{2\pi}{N}n) \;|\; k\in\mathbb Z\}$，由于：
$$
\exp\left(\rmj k \frac{2\pi}{N} n\right)
=\exp\left(\rmj (k+N) \frac{2\pi}{N} n\right)
$$
因此，函数系$\{\exp(\rmj k \frac{2\pi}{N}n) \;|\; k\in\mathbb Z\}$中最多有 $N$ 个相互独立的函数\\
可以证明：任取此函数系中连续分布的 $N$ 个函数，则它们是相互独立的\\
因此可取基本函数系为 $\{\exp(\rmj k\frac{2\pi}{N}n)\;|\; k=\langle N\rangle\}$，用 $\langle N\rangle$ 表示 $N$ 个连续整数


%{\kaishu 这里不对，还要有线性组合系数才能证明是否独立}\\
%
%以 $N$ 为基波周期的复指数函数系 $\{\exp(\rmj k \frac{2\pi}{N}n) \;|\; k\in\mathbb Z,\,N\in\mathbb N^+\}$
%中有且仅有 $N$ 个\emph{相互独立}的项\\

根据等比数列求和公式：
$$
\sum_{n=0}^{N-1} \exp\left( \rmj k \frac{2\pi}{N}n \right)  =
\begin{cases}
    N, & k=0,\pm N,\pm 2N,\cdots\\
    \dfrac{1-\exp(\rmj k 2\pi)}{1-\exp(\rmj k 2\pi/N)} = 0,& k=\text{else}
\end{cases}
$$
那么在 $k_1,k_2=\langle N\rangle$ 时，基本函数系中的两项 $\exp(\rmj k_1 \frac{2\pi}{N}n)$ %
与 $\exp(\rmj k_2 \frac{2\pi}{N}n)$ 的内积为：
$$
\begin{aligned}
    &\sum_{n=0}^{N-1} \exp\left(\rmj k_1 \frac{2\pi}{N} n\right) \cdot \exp\left(-\rmj k_2 \frac{2\pi}{N} n\right)\\
=\; &\sum_{n=0}^{N-1} \exp\left[\rmj (k_1-k_2)\frac{2\pi}{N} n\right]\\
=\; &\begin{cases}
    N, &k_1=k_2\\
    0, &k_1\ne k_2
\end{cases}
\end{aligned}
$$
综上：基本函数系$\{\exp(\rmj k\frac{2\pi}{N}n)\;|\; k=\langle N\rangle\}$ 各项\emph{相互独立}且\emph{正交}，模方为$N$

任何周期为 $N$ 的离散时间信号，其只有 $N$ 个独立的值，可视为 $N$ 维向量\\
那么含 $N$ 个相互独立序列的基本函数系$\{\exp(\rmj k\frac{2\pi}{N}n)\;|\; k=\langle N\rangle\}$ \emph{足够完备} \\
也就是说：对于基波周期为 $N$ 的信号 $x[n]$，离散时间傅立叶级数一定存在
$$
x[n] = \sum_{k=\langle N\rangle} A_k\exp\left(\rmj k \frac{2\pi}{N}n\right)
$$
由于是有限项相加，一定可以保证逐点收敛到原序列

要求离散傅立叶级数的系数 $A_k$，两边同乘 $\exp(\rmj r \frac{2\pi}{N}n)$ 并对 $n$ 求和，利用正交性：
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=\langle N\rangle}x[n]\,\exp\left[\rmj (-r) \frac{2\pi}{N}n\right]
&= \sum_{n=\langle N\rangle} \sum_{k=\langle N\rangle} A_k \exp\left[\rmj(k-r)\frac{2\pi}{N}n\right] = A_r N
\end{aligned}
$$

由此得到\emph{离散时间傅立叶级数DFS}：
$$
\boxed{
    \begin{aligned}
        x[n] &= \sum_{k=\langle N\rangle} A_k\exp\left(\rmj k \frac{2\pi}{N}n\right)\\
    A_k  &= \frac{1}{N} \sum_{n=\langle N\rangle}x[n] \exp\left(-\rmj k\frac{2\pi}{N}n\right)
    \end{aligned}
}
$$

离散时间傅立叶级数的特征：
\begin{enum}
    \item 显然 $A_k=A_{k+N}$ 故离散时间信号的傅立叶级数频谱是周期性的\\
          任何离散信号的频谱周期均为 $N\cdot ({2\pi}/{N}) = 2\pi$
    \item 对于实信号 $x[n]$ 有 $A_k^* = A_{-k}$\\
          实部偶对称，虚部奇对称；幅度偶对称，相位奇对称
\end{enum}

\subsubsection{例：周期性矩形脉冲序列的频谱}

周期性矩形脉冲序列的时域图像如图 \ref{fig:周期性矩形脉冲序列时域示意图} 所示\\
周期为 $N$，占空比为 $2N_1/N$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-7,0) -- (7,0) node[above left] {$n$};
        \foreach \i in {-2,-1,0,1,2}
        {
            \draw[blue,thick] (-4+0.5*\i,0) -- ++(0,1);
            \fill[blue]       (-4+0.5*\i,1) circle[radius=0.08];
        }
        \foreach \i in {-2,-1,0,1,2}
        {
            \draw[blue,thick] ( 4+0.5*\i,0) -- ++(0,1);
            \fill[blue]       ( 4+0.5*\i,1) circle[radius=0.08];
        }
        \foreach \i in {-2,-1,0,1,2}
        {
            \draw[blue,thick] ( 0+0.5*\i,0) -- ++(0,1);
            \fill[blue]       ( 0+0.5*\i,1) circle[radius=0.08];
        }
        \fill[blue,thick] (-4+1.5,0) circle[radius=0.08];
        \fill[blue,thick] (-4-1.5,0) circle[radius=0.08];
        \fill[blue,thick] ( 0+1.5,0) circle[radius=0.08];
        \fill[blue,thick] ( 0-1.5,0) circle[radius=0.08];
        \fill[blue,thick] ( 4+1.5,0) circle[radius=0.08];
        \fill[blue,thick] ( 4-1.5,0) circle[radius=0.08];
        %\foreach \i in {-1,0,1}
        %{
        %    \fill[blue]       (-2+0.5*\i,0) circle[radius=0.08];
        %}
        %\foreach \i in {-1,0,1}
        %{
        %    \fill[blue]       ( 2+0.5*\i,0) circle[radius=0.08];
        %}
        \draw (-1,0) node[below] {$-N_1$};
        \draw ( 1,0) node[below] {$ N_1$};
        \draw (-4,0) node[below] {$-N  $};
        \draw ( 0,0) node[below] {$ 0  $};
        \draw ( 4,0) node[below] {$ N  $};
        \draw ( 1,1) node[right] {$ 1  $};
        \draw[blue] (-6,0.5) node {$\cdots$};
        \draw[blue] (-2,0.5) node {$\cdots$};
        \draw[blue] ( 2,0.5) node {$\cdots$};
        \draw[blue] ( 6,0.5) node {$\cdots$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{周期性矩形脉冲序列时域示意图}
    \label{fig:周期性矩形脉冲序列时域示意图}
\end{figure}

取DFS得到：
$$
\begin{aligned}
    A_k &= \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_1} 1 \cdot \exp\left(-\rmj k \frac{2\pi}{N} n\right)\\
        &= \frac{1}{N} \cdot\exp\left(-\rmj k \frac{2\pi}{N} (-N_1)\right) 
           \frac{1- \exp\left(-\rmj k \dfrac{2\pi}{N}(2N_1+1)\right)}{1-\exp\left(-\rmj k\dfrac{2\pi}{N}\right)}\\
        &= \frac{1}{N}\cdot 
           \frac{\exp\left[\rmj k \dfrac{2\pi}{N} \left(N_1+\dfrac12\right)\right]
               - \exp\left[-\rmj k\dfrac{2\pi}{N} \left(N_1+\dfrac12\right)\right]}
                {\exp\left(\rmj k \dfrac{2\pi}{N} \dfrac{1}{2}\right)-\exp\left(-\rmj k \dfrac{2\pi}{N} \dfrac{1}{2}\right)} \\
\end{aligned}
$$

最终化简得到：
$$
A_k = 
\left\{\begin{aligned}
&\frac{1}{N} \frac{\sin\left[k\dfrac{2\pi}{N} \dfrac12 \left(2N_1+1\right) \right]}
                       {\sin\left(k\dfrac{2\pi}{N} \dfrac{1}{2}\right)},
& k\ne 0,\pm N,\pm 2N,\cdots\\
&\frac{2N_1+1}{N},
& k=   0,\pm N,\pm 2N,\cdots
\end{aligned}\right.
$$

频域是离散的，其包络线具有 $\sin(\beta x)/\sin(x)$ 的形状

无论如何，频域周期都为 $2\pi$\\
增大脉冲宽度 $N_1$ 则唯一的改变是包络线形状，如图 \ref{fig:周期性脉冲序列频域图像1}\\
增大时域周期 $N$ 则唯一的改变是谱线密集程度增大，如图 \ref{fig:周期性脉冲序列频域图像2}，{\kaishu 可以推测$N\to\infty$ 时频域趋向连续}
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[xmin=-12, xmax=12, ymin=-0.2, ymax=0.8, axis lines=middle, xlabel={$\omega$}, ylabel={$A_k$},
                     xtick={-2*pi,0,2*pi}, ytick=\empty, xticklabels={$-2\pi$,$0$,$2\pi$}, width=16cm, height=5cm]
            \addplot[gray,dashed,samples=400,domain=-10:10] {sin(deg(3*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot[blue,thick,ycomb,samples at={-pi/10*30,-pi/10*29,...,pi/10*30}] {sin(deg(3*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot[blue,thick,ycomb] coordinates {(-2*pi,3/10) (0,3/10) (2*pi,3/10)};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.6 ) {$\color{blue}N=20$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.45) {$\color{blue}N_1=1$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[xmin=-12, xmax=12, ymin=-0.2, ymax=0.8, axis lines=middle, xlabel={$\omega$}, ylabel={$A_k$},
                     xtick={-2*pi,0,2*pi}, ytick=\empty, xticklabels={$-2\pi$,$0$,$2\pi$}, width=16cm, height=5cm]
            \addplot[gray,dashed,samples=400,domain=-10:10] {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot[blue,thick,ycomb,samples at={-pi/10*30,-pi/10*29,...,pi/10*30}] {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot[blue,thick,ycomb] coordinates {(-2*pi,5/10) (0,5/10) (2*pi,5/10)};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.6 ) {$\color{blue}N=20$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.45) {$\color{blue}N_1=2$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[xmin=-12, xmax=12, ymin=-0.2, ymax=0.8, axis lines=middle,xlabel={$\omega$}, ylabel={$A_k$},
                     xtick={-2*pi,0,2*pi}, ytick=\empty, xticklabels={$-2\pi$,$0$,$2\pi$}, width=16cm, height=5cm]
            \addplot[gray,dashed,samples=400,domain=-10:10] {sin(deg(7*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot[blue,thick,ycomb,samples at={-pi/10*30,-pi/10*29,...,pi/10*30}] {sin(deg(7*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot[blue,thick,ycomb] coordinates {(-2*pi,7/10) (0,7/10) (2*pi,7/10)};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.6 ) {$\color{blue}N=20$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.45) {$\color{blue}N_1=3$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$N_1$增大，包络形状改变}
    \label{fig:周期性脉冲序列频域图像1}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[xmin=-12, xmax=12, ymin=-0.4, ymax=1.2, axis lines=middle, xlabel={$\omega$}, ylabel={$A_k$},
                     xtick={-2*pi,0,2*pi}, ytick=\empty, xticklabels={$-2\pi$,$0$,$2\pi$}, width=16cm, height=5cm]
            \addplot[gray,dashed,samples=400,domain=-10:10] {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 5};
            \addplot[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5},samples at={-pi/5*15,-pi/5*14,...,-pi/5*11}]
                {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 5};
            \addplot[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5},samples at={-pi/5* 9,-pi/5* 8,...,-pi/5* 1}]
                {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 5};
            \addplot[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5},samples at={ pi/5* 9, pi/5* 8,..., pi/5* 1}]
                {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 5};
            \addplot[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5},samples at={ pi/5*15, pi/5*14,..., pi/5*11}] 
                {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 5};
            \addplot[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5}] coordinates {(-2*pi,5/5) (0,5/5) (2*pi,5/5)};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.96) {$\color{blue}N=10$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.72) {$\color{blue}N_1=2$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[xmin=-12, xmax=12, ymin=-0.4, ymax=1.2, axis lines=middle, xlabel={$\omega$}, ylabel={$A_k$},
                     xtick={-2*pi,0,2*pi}, ytick=\empty, xticklabels={$-2\pi$,$0$,$2\pi$}, width=16cm, height=5cm]
            \addplot[gray,dashed,samples=400,domain=-10:10] {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot+[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5},samples at={ pi/10*30, pi/10*29,..., pi/10*1}] 
                {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot+[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5},samples at={-pi/10*30,-pi/10*29,...,-pi/10*1}] 
                {sin(deg(5*x/2)) / sin(deg(x/2)) / 10};
            \addplot+[blue,thick,ycomb,mark=*,mark options={scale=0.5}] coordinates {(-2*pi,5/10) (0,5/10) (2*pi,5/10)};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.96) {$\color{blue}N=20$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:9,0.72) {$\color{blue}N_1=2$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$N$ 增大，频域谱线变密集}
    \label{fig:周期性脉冲序列频域图像2}
\end{figure}

\subsection{离散时间傅立叶变换}

对于非周期的离散时间信号，只需令周期 $N\to+\infty$ 
\begin{align*}
    x[n] &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k}^{\langle N\rangle} \frac{1}{N}(NA_k)\exp\left(\rmj k \frac{2\pi}{N}n\right) &
    NA_k &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{n}^{\langle N\rangle} x[n]\exp\left(-\rmj k \frac{2\pi}{N}n\right)\\
         &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k}^{\langle N\rangle} \frac{\d\omega}{2\pi}(NA_k)\,\rme^{\,\rmj\omega n} &
         &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \,\rme^{-\rmj\omega n}\\
         &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} (NA_k)\, \rme^{\,\rmj\omega n} \d\omega
\end{align*}
对第一式，在极限情况下$\omega = k\cdot 2\pi/N$ 可以取遍一个长度为$2\pi$ 的连续区间，因此积分区间长度限定为 $2\pi$\\
对第二式，记 $NA_k = X(\rme^{\,\rmj\omega_k})$，$X(\rme^{\,\rmj\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} NA_k$\\
得到\emph{离散时间傅立叶变换 DTFT}：
$$
\boxed{
\begin{aligned}
    x[n] &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(\rme^{\,\rmj\omega})\,\rme^{\,\rmj\omega n}\d\omega\\
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \,\rme^{-\rmj\omega n}
\end{aligned}
}
$$

从傅立叶变换的角度看傅立叶级数，周期序列的傅立叶变换是一系列脉冲
\begin{align*}
    X(\rme^{\,\rmj\omega_k}) = NA_k 
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    X(\rme^{\,\rmj\omega})   = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{2\pi}{\d\omega}A_k 
    = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \delta\left(\omega-\frac{2\pi}{N}k\right)
\end{align*}
严格证明：\emph{周期序列的傅立叶变换 = 其傅立叶级数的傅立叶变换}
\begin{align*}
    \mathscr F\Big[f_N[n]\Big] &= \scrF\left[ \sum_{k=0}^{N-1} A_k \exp\left(\rmj \frac{2\pi}{N}kn\right)\right]\\
    &= \sum_{k=0}^{N-1} A_k \left[ \sum_{r=-\infty}^{+\infty} 2\pi\,\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{N}k+2\pi r\right) \right]\\
    &= 2\pi\sum_{k=0}^{N-1} \sum_{r=-\infty}^{+\infty}A_{k+Nr}\,\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{N}(k+Nr)\right)\\
    &= 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \,\delta\left(\omega- \frac{2\pi}{N}k\right)
\end{align*}
综上，\emph{周期性序列的傅立叶变换}：
$$
\boxed{
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k \delta\left(\omega- \frac{2\pi}{N}k\right)
}
$$

\subsubsection{离散时间傅里叶变换的存在条件}
由于存在无穷级数，DTFT只能在一定条件下存在，以下给出两个充分不必要条件\\
若 $x[n]$ 绝对可和\emph{或}平方可和，则离散时间傅立叶变换存在且收敛 
\begin{align*}
    &\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Big|x[n]\Big| < \infty &
    &\texttt{OR} &
    &\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Big|x[n]\Big|^2 < \infty
\end{align*}
反变换的积分区间是有限的，故DTFT只要存在则一定收敛，不存在吉布斯现象

\subsubsection{时域/频域、离散/连续、周期/非周期}

时域周期 $\Longleftrightarrow$ 频域离散
时域离散 $\Longleftrightarrow$ 频域周期

在时域中具有周期性的信号，只能由本频与倍频的周期性指数信号构成，因此频域离散

在时域中离散的信号，相当于具有最小周期 $N_{\rm min}=1$，因此频域中仅有 $\omega\in[0,2\pi]$ 的分量\\
对于离散时间系统来说，频率相差 $2\pi$ 的分量是等价的，因此其它频率的分量都被褶皱到 $[0,2\pi]$ 上\\
由此在频域中形成周期性

离散时间傅立叶变换的频域与连续时间傅立叶变换的频域中的某些项具有对应关系：
\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{DTFT与CTFT频域中项的对应关系}
    \label{tab:DTFT与CTFT频域中项的对应关系}
    \begin{tabular}{cc}
        \toprule
        DTFT频域项 & CTFT频域项\\
        \midrule 
        $1-\rme^{-\rmj\omega}$ & $\rmj\omega$ \\
        $\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[\omega-2\pi k]$ & $\delta(\omega)$\\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{离散时间傅里叶变换的性质}
离散时间傅立叶变换的性质如表 \ref{tab:离散时间傅立叶变换的性质} 所示，表中 $\scrF$ 均指离散时间傅立叶变换
\begin{table}[H]
    \centering
    \caption{离散时间傅立叶变换的性质}
    \label{tab:离散时间傅立叶变换的性质}
    \begin{tabular}{cM}
         \toprule
         性质     & \multicolumn{2}{c}{表达式\quad\quad\;}  \\
         \midrule 
         频域周期 & \multicolumn{2}{c}{频域总以 $2\pi$ 为周期\qquad\quad}\\
         \midrule
         线性性质 & ax_1[n]+bx_2[n] & aX_1(\rme^{\,\rmj\omega}) + bX_2(\rme^{\,\rmj\omega}) \\
         对偶性质 & \multicolumn{2}{c}{$X(\rme^{\,\rmj t})\xrightarrow{\rm CFS\,}x[-n]\hspace{3.45cm}$}\\
         \midrule
         共轭对称 & x^{\color{blue}*}[n] & X^{\color{blue}*}(\rme^{{\color{blue}-}\rmj\omega}) \\
         %尺度变换 & x({\color{blue}a}t) & X(\rme^{\,\rmj\omega}{\color{blue}/a}){\color{blue}\,/\,|a|} \\
         时域内插 & x_{(k)}[n] & X(\rme^{\,\rmj k\omega})\\
         时域反转 & x[-n] & X(\rme^{-\rmj\omega})\\
         \midrule
         时移性质 & x[n-n_0] & {\color{blue}\rme^{-\rmj\omega n_0}}X(\rme^{\,\rmj\omega})  \\
         频移性质 & {\color{blue}\rme^{\,\rmj\omega_0t}}x[n] & X(\rme^{\,\rmj(\omega{\color{blue}-\omega_0})})  \\
         \midrule
         时域差分 & x[n]-x[n-1] & {\color{blue}(1-\rme^{-\rmj\omega})}X(\rme^{\,\rmj\omega}) \\
         频域微分 & {\color{blue}n}\,x[n] & {\color{blue}\rmj\dfrac{\d}{\d\omega}}X(\rme^{\,\rmj\omega}) \\
         \midrule
         时域求和 & {\color{blue}\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{n}}x[k]{\color{blue}} &%
         {\color{blue}\dfrac{\color{black}X(\rme^{\,\rmj\omega})}{1-\rme^{-\rmj\omega}}}{\color{blue}%
         \,+\,\pi X(\rme^{\rmj0}) \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)}\\
         %频域积分 & \dfrac{x[n]}{\color{blue}-\rmj t} + {\color{blue}\pi x(0)\,\delta[n]} & %
         %           {\color{blue}\displaystyle\int_{-\infty}^{\omega}} X(\rme^{\,\rmj\omega}){\color{blue}\;\d\omega}\\
         \midrule
         卷积性质 & x_1[n]*x_2[n] & X_1(\rme^{\,\rmj\omega})\cdot X_2(\rme^{\,\rmj\omega}) \\
         调制性质 & x_1[n]\cdot x_2[n] & X_1(\rme^{\,\rmj\omega}) \otimes X_2(\rme^{\,\rmj\omega}) {\color{blue}/2\pi} \\
         \midrule
         Parseval 定理 &  \multicolumn{2}{c}{$\;\,\;\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \big|x[n]\big|^2 %
         = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} \big|X(\rme^{\,\rmj\omega})\big|^2 \d\omega$} \\
         \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

\paragraph{对偶性质}
离散时间傅立叶变换的时域是离散非周期的，频域是连续周期的\\
因此DTFT无法自对偶，只能与连续时间傅立叶级数互相对偶
\begin{align*}
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \,\rme^{-\rmj\omega n}
    = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[-n] \,\rme^{\,\rmj\omega n}
\end{align*}
这可以被视为一个连续时间傅立叶级数，而 $A_k = x[-k]$ 是CFS的系数，也就是说：
\begin{align*}
    x[n] \xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;} X(\rme^{\,\rmj\omega})  
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    X(\rme^{\,\rmj t}) \xrightarrow{\;\;\rm CFS\;\; } x[-k] 
\end{align*}


\paragraph{共轭对称性}
证明如下： 
\begin{align*}
    \mathscr F\big(x^*[n]\big) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*[n] \rme^{-\rmj\omega n} 
    = \left( x[n] \rme^{\,\rmj\omega n} \right)^* = X^*(\rme^{-\rmj\omega})
\end{align*}
若 $x[n]$ 是实数序列，则 $x[n]=x^*[n]$，可得 $X(\rme^{\,\rmj\omega})=X^*(\rme^{-\rmj\omega})$\\
\emph{实数序列的频谱：实部是偶函数、虚部是奇函数；幅度是偶函数、相位是奇函数}

\paragraph{奇偶性}
\emph{偶序列的频谱是偶函数，奇序列的频谱是奇函数}
\begin{align*}
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \rme^{-\rmj\omega n} &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \rme^{-\rmj\omega n} \\
                           &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[-n] \rme^{-\rmj\omega n} &
                           &= -\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[-n] \rme^{-\rmj\omega n} \\
                           &= X(\rme^{-\rmj\omega}) &
                           &= -X(\rme^{-\rmj\omega})
\end{align*}
如果序列 $x[n]$ 还是实数序列，则依据 $X(\rme^{\,\rmj\omega}) = X^*(\rme^{-\rmj\omega})$ 可得：\\
\emph{实偶序列的频谱是实偶函数，实奇序列的频谱是虚奇序列}
\begin{align*}
    X^*(\rme^{\,\rmj\omega}) &= X(\rme^{-\rmj\omega}) = X(\rme^{\,\rmj\omega}) &
    X^*(\rme^{\,\rmj\omega}) &= X(\rme^{-\rmj\omega}) = -X(\rme^{\,\rmj\omega}) 
\end{align*}
将 $x[n]$ 分解为偶部 $x_{\rm e}[n]$ 与奇部 $x_{\rm o}[n]$\\
则 $X(\rme^{\,\rmj\omega})$ 的实部必定由 $x_{\rm e}[n]$ 变换来，
$X(\rme^{\,\rmj\omega})$ 的虚部必定由 $x_{\rm o}[n]$ 变换来
\begin{align*}
    \mathscr F\big(x_{\rm e}[n]\big) &= \operatorname{Re} \big(X(\rme^{\,\rmj\omega})\big) &
    \mathscr F\big(x_{\rm o}[n]\big) &= \rmj\operatorname{Im} \big(X(\rme^{\,\rmj\omega})\big)
\end{align*}

\paragraph{时域内插}
对时域作0值内插扩展，可见此过程是可逆的（当 $k<0$ 时附带时域翻转）
$$
x_{(k)}[n] = 
\begin{cases}
    x[n/k], & n/k\in \mathbb Z\\
    0     , & n/k\not\in \mathbb Z
\end{cases}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
x_{(k)}[rk] = x[r],\quad r\in\mathbb Z
$$
考察内插后所得序列的 $x_{(k)}[n]$ 频域
\begin{align*}
    \mathscr F\big(x_{(k)}[n]\big) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_{(k)}[n] \,\rme^{-\rmj \omega n}
                                    = \sum_{r=-\infty}^{+\infty} x[r]       \,\rme^{-\rmj\omega rk}
                                    = X(\rme^{\,\rmj k\omega})
\end{align*}
可见：对于0值内插，时域扩展为原宽度的 $k$ 倍，则频域压缩为原来的 $1/k$ 倍\\
这相当于使 $n$ 取值由 $0,\pm1,\pm2,\cdots$ 改为 $0,\pm k,\pm2k,\cdots$\\
自然，频域周期也改为 $2\pi/k$

\paragraph{时域的差分与求和}
时域差分性质可以直接证明如下。可以看到 $1-\rme^{-\rmj\omega}$ 相当于连续时间傅立叶变换中的 $\rmj\omega$
\begin{align*}
    \mathscr F\big(x[n] - x[n-1]\big) &= X(\rme^{\,\rmj\omega}) - X(\rme^{\,\rmj\omega}) \rme^{-\rmj\omega}\\
                                      &= (1-\rme^{-\rmj\omega}) \cdot X(\rme^{\,\rmj\omega})
\end{align*}

时域的求和转化为与 $u[n]$ 的卷积：
\begin{align*}
    \mathscr F\left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\right) 
    &= \mathscr F\big(x[n] * u[n]\big) \\
    &= X(\rme^{\,\rmj\omega}) \cdot \left[\frac{1}{1-\rme^{-\rmj\omega}} 
       + \pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)\right]\\
    &= \frac{X(\rme^{\,\rmj\omega})}{1-\rme^{-\rmj\omega}} 
    + \pi X(\rme^{\,\rmj 0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)
\end{align*}

\paragraph{卷积性质}
通过交换求和次序证明卷积性质：
\begin{align*}
    \mathscr F\big(x[n] * h[n]\big) 
    &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\cdot h[n-k]\right] \rme^{-\rmj\omega n}\\ 
    &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n-k]\,\rme^{-\rmj\omega(n-k)}\right]\rme^{-\rmj\omega k}\\
    &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\, H(\rme^{\,\rmj\omega}) \,\rme^{-\rmj\omega k}\\
    &= X(\rme^{\,\rmj\omega}) \cdot H(\rme^{\,\rmj\omega})
\end{align*}

\paragraph{调制性质}
时域乘积对应于频域的\emph{周期卷积}\\
与线性卷积的不同之处在于周期卷积仅在一个周期上积分\\
两个被积函数有共同的周期，且与积分结果周期相同
\begin{align*}
    \mathscr F\big(x[n]\cdot h[n]\big) 
    &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot h[n] \cdot \rme^{-\rmj\omega n}\\
    &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot 
    \left(\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} H(\rme^{\,\rmj\Omega})\,\rme^{\,\rmj\Omega n}\d\Omega\right) \rme^{-\rmj\omega n}\\
    &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} H(\rme^{\,\rmj\Omega}) 
    \left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\,\rme^{-\rmj(\omega-\Omega)n}\right)\d\Omega\\
    &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} H(\rme^{\,\rmj\Omega}) \cdot X(\rme^{\,\rmj(\omega-\Omega)}) \d\Omega\\
    &= X(\rme^{\,\rmj\omega}) \otimes H(\rme^{\,\rmj\omega})
\end{align*}

\paragraph{Parseval定理}
与连续时间傅立叶变换情况相似，将 $|X(\rme^{\,\rmj\omega})|^2$ 称为 $x[n]$ 的能量谱密度
\begin{align*}
    \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*[n] \cdot x[n] 
    &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x^*[n]\left(\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(\rme^{\,\rmj\omega})\,\rme^{\,\rmj\omega n}\d\omega\right)\\
    &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(\rme^{\,\rmj\omega}) \cdot
        \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\,\rme^{-\rmj\omega n}\right)^* \d\omega\\
    &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(\rme^{\,\rmj\omega}) \cdot X^*(\rme^{\,\rmj\omega}) \d\omega
\end{align*}
对于周期信号同样有功率谱密度 $|A_k|^2$
\begin{align*}
    \frac{1}{N} \sum_{n=\langle N \rangle} \big|x[n]\big|^2 = \sum_{k=\langle N \rangle} |A_k|^2
\end{align*}

\subsubsection{常用序列的傅立叶变换}

\paragraph{单边指数衰减序列}
在 $|a|<1$ 的情况下有如下傅立叶变换对，频域图像如图 \ref{fig:单边指数衰减序列频域图像} 所示\\
可以看到，若 $a$ 取相反数则频域图像相移 $\pi$\\
可以看到，$a>0$ 低频较多，$a<0$ 高频较多，这与时域图像能够对应
\begin{align*}
    x[n] &= a^n u[n] &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \sum_{n=0}^{+\infty} a^n \rme^{-\rmj\omega n}
    = \color{blue} \frac{1}{1-a\rme^{-\rmj\omega}}
\end{align*}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xmin=-9, xmax=9, ymin=-0.1,ymax=2.4, title={$\color{blue}0<a<1$},
                     xlabel={$\omega$}, ylabel={$|X(\rme^{\,\rmj\omega})|$},
                     xtick={-2*pi,-pi,...,2*pi}, xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,$0$,${\color{white}2}\pi{\color{white}2}$,$2\pi$},
                     ytick=\empty,
                     height=4cm, width=8cm]
            \addplot[thick,domain=-8:8,samples=300,blue] {1 / (sqrt( (1-0.5*cos(deg(x)))^2 + (0.5*sin(deg(x)))^2 ))};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xmin=-9, xmax=9, ymin=-0.1,ymax=2.4, title={$\color{blue}-1<a<0$},
                     xlabel={$\omega$}, ylabel={$|X(\rme^{\,\rmj\omega})|$},
                     xtick={-2*pi,-pi,...,2*pi}, xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,$0$,${\color{white}2}\pi{\color{white}2}$,$2\pi$},
                     ytick=\empty,
                     height=4cm, width=8cm]
            \addplot[thick,domain=-8:8,samples=300,blue] {1 / (sqrt( (1+0.5*cos(deg(x)))^2 + (-0.5*sin(deg(x)))^2 ))};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xmin=-9, xmax=9, ymin=-1.25,ymax=1.25,
                     xlabel={$\omega$}, ylabel={$\arg X(\rme^{\,\rmj\omega})$},
                     xtick={-2*pi,-pi,...,2*pi}, xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,$0$,${\color{white}2}\pi{\color{white}2}$,$2\pi$},
                     ytick=\empty,
                     height=4cm, width=8cm]
            \addplot[thick,domain=-8:8,samples=300,blue] {rad(-atan( (0.5*sin(deg(x))) / (1-0.5*cos(deg(x)))))};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xmin=-9, xmax=9, ymin=-1.25,ymax=1.25,
                     xlabel={$\omega$}, ylabel={$\arg X(\rme^{\,\rmj\omega})$},
                     xtick={-2*pi,-pi,...,2*pi}, xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,$0$,${\color{white}2}\pi{\color{white}2}$,$2\pi$},
                     ytick=\empty,
                     height=4cm, width=8cm]
            \addplot[thick,domain=-8:8,samples=300,blue] {rad(-atan( (-0.5*sin(deg(x))) / (1+0.5*cos(deg(x))) ))};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{单边指数衰减序列频域图像}
    \label{fig:单边指数衰减序列频域图像}
\end{figure}

事实上，在原序列基础上乘以 $(-1)^n=\rme^{\,\rmj\pi n}$ 相当于频移 $\pi$

\paragraph{双边指数衰减信号}
在 $|a|<1$ 的情况下，双边指数衰减信号 $x[n] = a^{|n|}$ 的频域如下：
\begin{align*}
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} a^{-n} \rme^{-\rmj\omega n} + \sum_{n=0}^{+\infty} a^n \rme^{-\rmj\omega n}\\
                           &= \color{blue}a\rme^{\,\rmj\omega} \frac{1}{1-a\rme^{\,\rmj\omega}} + \frac{1}{1-a\rme^{-\rmj\omega}}\\
                           &= \color{blue}\frac{1-a^2}{1-2a\cos\omega + a^2}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xmin=-9, xmax=9, ymin=-0.1,ymax=2.4, title={$\color{blue}0<a<1$},
                     xlabel={$\omega$}, ylabel={$X(\rme^{\,\rmj\omega})$},
                     xtick={-2*pi,-pi,...,2*pi}, xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,$0$,${\color{white}2}\pi{\color{white}2}$,$2\pi$},
                     ytick=\empty,
                     height=4cm, width=8cm]
            \addplot[thick,domain=-8:8,samples=300,blue] {(1-0.3^2) / (1-2*0.3*cos(deg(x))+0.3^2)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle, xmin=-9, xmax=9, ymin=-0.1,ymax=2.4, title={$\color{blue}-1<a<0$},
                     xlabel={$\omega$}, ylabel={$X(\rme^{\,\rmj\omega})$},
                     xtick={-2*pi,-pi,...,2*pi}, xticklabels={$-2\pi$,$-\pi$,$0$,${\color{white}2}\pi{\color{white}2}$,$2\pi$},
                     ytick=\empty,
                     height=4cm, width=8cm]
            \addplot[thick,domain=-8:8,samples=300,blue] {(1-0.3^2) / (1+2*0.3*cos(deg(x))+0.3^2)};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{双边指数衰减序列的频域图像}
    \label{fig:双边指数衰减序列的频域图像}
\end{figure}


\paragraph{单位脉冲序列}
单位冲激序列的时域与频域：
\begin{align*}
    x[n]&=\delta[n] &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \color{blue}1
\end{align*}

%利用反变换可以得到：
%$$
%\boxed{
%    \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} \rme^{\,\rmj\omega n}\d\omega = \delta[n]
%}
%$$

\paragraph{单位常数序列}
难以直接对 $x[n]=1$ 进行正变换，通常用反变换来确定两者的对应关系
\begin{align*}
    x[n] &= 1 &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \color{blue}2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)
\end{align*}

也可以在时域中由连续过渡到离散，此时频域进行周期性延拓，也就是： 
\begin{align*}
    x(t) = 1 \quad &\xrightarrow{\;\;\scrF\;\;}\quad  X(\rmj\omega) = 2\pi\delta(\omega)\\
    x[n] = 1 \quad &\xrightarrow{\;\;\scrF\;\;}\quad  X(\rme^{\,\rmj\omega}) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)
\end{align*}

\paragraph{单位阶跃序列}
利用时域求和性质即可得到：
\begin{align*}
    u[n] &= 
    \begin{cases}
        1, &n\ge 1\\
        0, &n<0
    \end{cases} & 
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \color{blue} \frac{1}{1-\rme^{-\rmj\omega }} + \pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k)
\end{align*}

\paragraph{符号函数序列}
利用 $\operatorname{sgn}[n] = u[n] - u[-n]$ 即可得到：
\begin{align*}
    \operatorname{sgn}[n] &=
    \begin{cases}
        -1, &n<0\\
        0,  &n=0\\
        1,  &n>0
    \end{cases} &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \frac{1}{1-\rme^{-\rmj\omega}} - \frac{1}{1-\rme^{\,\rmj\omega}} 
    = \color{blue} -\rmj \frac{\sin\omega}{1-\cos\omega}
\end{align*}

\paragraph{矩形脉冲序列}
矩形脉冲序列的时域、频域如下：
\begin{align*}
    x[n] &=
    \begin{cases}
        1, & |n|\le N_1\\
        0, & |n| >  N_1\\
    \end{cases} &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \sum_{n=-N_1}^{N_1} \rme^{-\rmj\omega n} 
    = \color{blue}\frac{\sin\Big[(2N_1+1)\,{\omega}/{2}\Big]}{\sin({\omega}/{2})}
\end{align*}

\paragraph{离散时间理想低通滤波器}
对于离散时间系统来说，频域是周期性的，理想低通滤波器的频域也是周期性的，如图 \ref{fig:离散时间理想低通滤波器的频域图像} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[above left]{$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.2) -- (0,2) node[below right]{$H(\rme^{\,\rmj\omega})$};
        \draw[thick,blue] (-5,0) -- ++(0,1) -- ++(2,0) -- ++(0,-1);
        \draw[thick,blue] (-1,0) -- ++(0,1) -- ++(2,0) -- ++(0,-1);
        \draw[thick,blue] ( 3,0) -- ++(0,1) -- ++(2,0) -- ++(0,-1);
        \draw[gray] (-4,0.1) -- ++(0,-0.1) node[below,black] {$-2\pi$};
        \draw[gray] ( 4,0.1) -- ++(0,-0.1) node[below,black] {$ 2\pi$};
        \draw (-1,0) node[below]{$-W$};
        \draw ( 1,0) node[below]{$ W$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{离散时间理想低通滤波器的频域图像}
    \label{fig:离散时间理想低通滤波器的频域图像}
\end{figure}

从频域反变换得到时域：
\begin{align*}
    h[n] &= {\color{blue}\frac{\sin(Wn)}{\pi n}} = {\color{blue}\frac{W}{\pi} \sinc\left( \frac{W}{\pi} n\right)} &
    H(\rme^{\,\rmj\omega}) &=
    \begin{cases}
        1, &|\omega-2\pi k|<W\\
        0, &|\omega-2\pi k|>W
    \end{cases}
\end{align*}

\paragraph{指数序列$\exp(\rmj\omega n)$}
本频率分量 + 周期性延拓 
\begin{align*}
    x[n] &= \rme^{\,\rmj\omega_0n} &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= 2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-\omega_0-2\pi k)
\end{align*}

\paragraph{正余弦序列}
转化为指数序列，或利用周期序列的离散时间傅立叶变换
\begin{align*}
    \cos(\omega_0n) &= \frac{\rme^{\,\rmj\omega_0 n}+\rme^{-\rmj\omega_0 n}}{2} &
    X(\rme^{\,\rmj\omega})&= \pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 
    \Big[\delta(\omega-\omega_0+2\pi k) + \delta(\omega+\omega_0+2\pi k)\Big]\\
    \sin(\omega_0n) &= \frac{\rme^{\,\rmj\omega_0 n} - \rme^{-\rmj\omega_0 n}}{2\rmj} &
    X(\rme^{\,\rmj\omega})&= \frac{\pi}{\rmj} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 
    \Big[\delta(\omega-\omega_0+2\pi k) - \delta(\omega+\omega_0 +2\pi k)\Big]
\end{align*}

\paragraph{周期性脉冲串}
对于以 $N$ 为周期的脉冲串，直接求其离散傅立叶变换
\begin{align*}
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(n-kN)\right]\,\rme^{-\rmj\omega n}
    =  \color{blue}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \rme^{-\rmj\omega kN}
\end{align*}

也可先求离散时间傅立叶级数，再求离散时间傅立叶变换
\begin{align*}
    A_k &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\left[\sum_{r=-\infty}^{+\infty}\delta(n-rN)\right] \exp\left(-\rmj \frac{2\pi}{N}kn\right)
         = \frac{1}{N}
\end{align*}
得到：
\begin{align*}
    x[n] &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[n-kN] &
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= \color{blue} \frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta\left(\omega - \frac{2\pi}{N}k\right)
\end{align*}

这两种傅立叶变换结果实质上相等，对第二式进行连续时间傅立叶级数展开就得到第一式
\begin{align*}
    B_k &= \frac{1}{2\pi/N} \int_{-\pi/N}^{\pi/N} \left[\frac{2\pi}{N} 
           \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\omega- \frac{2\pi}{N}k\right)\right]\rme^{-\rmj rN\omega}\d\omega
         = \int_{-N/\pi}^{N/\pi} \delta(\omega) \,\rme^{-\rmj rN\omega} \d\omega 
         = 1 \\
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) &= {\color{blue}\frac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\omega - \frac{2\pi}{N}k\right)}
                            = \sum_{r=-\infty}^{+\infty} B_k \rme^{\,\rmj rN \omega}
                            = {\color{blue}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \rme^{-\rmj kN \omega}}
\end{align*}

\subsection{由线性常系数差分方程表征的系统}

一般的线性常系数差分方程：
\begin{align*}
    \sum_{k=0}^Na_k\, y[n-k] &= \sum_{k=0}^M b_k\,x[n-k] 
    \qquad\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;}\qquad 
    \sum_{k=0}^N a_k \,\rme^{-\rmj\omega k}\, Y(\rme^{\,\rmj\omega}) = 
    \sum_{k=0}^M b_k \,\rme^{-\rmj\omega k}\, X(\rme^{\,\rmj\omega}) 
\end{align*}

由此得到：
$$
H(\rme^{\,\rmj\omega}) = \frac{Y(\rme^{\,\rmj\omega})}{X(\rme^{\,\rmj\omega})} 
= \frac{\sum\limits_{k=0}^M b_k\,\rme^{-\rmj\omega k}}{\sum\limits_{k=0}^N a_k\,\rme^{-\rmj\omega k}}
$$


\begin{quote}
    \href{https://www.zhihu.com/question/26448935/answer/967056002}{可视化解释离散时间傅立叶变换的周期性与混叠}\\
    \href{https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/2015_Fall_ECE_438_Boutin_A_visual_explanation_of_aliasing_and_repetition_with_the_DTFT_Erik_Swan}{A visual explanation of aliasing and repetition with the DTFT}
\end{quote}

\section{傅立叶变换的应用}
\subsection{信号傅立叶变换的模和相位}
信号通过LTI系统，模发生增益，相位发生相移
$$
Y(\rmj\omega) = X(\rmj\omega) \cdot H(\rmj\omega)
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    |Y(\rmj\omega)| &= |X(\rmj\omega)| \cdot |H(\rmj\omega)|\\
    \arg Y(\rmj\omega) &= \arg X(\rmj\omega) + \arg H(\rmj\omega)
\end{aligned}
$$

$|H(\rmj\omega)|$ 称为LTI系统的增益，$\arg H(\rmj\omega)$ 称为LTI系统的相移

\subsubsection{信号的不失真传输条件}
信号失真分为相位失真、幅度失真，工程上满足如下关系认为未失真：
$$
y(t) = k\cdot x(t-t_0) 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
H(\rmj\omega) = k \cdot \rme^{-\rmj\omega t_0}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
&|H(\rmj\omega)| = k \\
&\arg H(\rmj\omega) = -\omega t_0 \\
\end{aligned}
$$
如上系统的增益是恒定的，称为\emph{全通系统}\\
如上系统的相移是线性的，只引起信号时移，不引起信号波形变化

\begin{quote}
若系统在被传输信号的带宽范围内满足不失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统
\end{quote}

\subsection{滤波器概述}
\subsubsection{理想滤波器}
理想滤波器在某些频段内的频响为常数（通带），在其它频段内频响为0（阻带）\\
通常可分为：低通、高通、带通、带阻

以理想低通滤波器为例，其时域特性：非因果系统且响应延续至 $t=\infty$\\
在工程上无法实现

\subsubsection{非理想滤波器}
如图 \ref{fig:非理想滤波器的频域示意图} 所示，非理想滤波器的频域被分为：通带、过渡带、阻带\\
\emph{通带起伏}：通带偏离单位增益的 $\pm \delta_1$\\
\emph{阻带起伏}：阻带偏离零值增益的 $\pm \delta_2$\\
\emph{通带边缘}：$\omega_{\rm p}$\\
\emph{阻带边缘}：$\omega_{\rm s}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.65\textwidth]{figures/非理想滤波器的频域示意图.pdf}
    \caption{非理想滤波器的频域示意图}
    \label{fig:非理想滤波器的频域示意图}
\end{figure}

\section{采样}

\subsection{理想采样与恢复}
周期性冲激串采样（\emph{理想采样}）
\begin{align*}
    p(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT) &
    x_p(t) &= x(t) \cdot p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot \delta(t-nT)
\end{align*}
做傅立叶变换：
\begin{align*}
    P(\rmj\omega) &= \frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\omega-\frac{2\pi}{T} k\right) &
    \qquad&\Longrightarrow\qquad  &
    X_p(\rmj\omega) &=  \frac{1}{2\pi} X(\rmj\omega) * P(\rmj\omega)
                     = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X\big(\rmj(\omega-k\omega_{\rm s})\big)
\end{align*}
在时域对连续时间信号进行理想采样，相当于在频域将连续时间信号的频谱以 $\omega_{\rm s}$ 为周期进行延拓

\subsubsection{奈奎斯特采样定理}
若想使采样后的信号样本可完全代表原来的信号，则必须可以从 $X_p(\rmj\omega)$ 中不失真地恢复出 $X(\rmj\omega)$\\
这要求$X(\rmj\omega)$ 周期性延拓得到 $X_p(\rmj\omega)$ 时不能发生频谱混叠
\begin{enum}
\item $X(\rmj\omega)$ 必须是带限信号，最高频率分量设为 $\omega_{\rm M}$
\item 采样频率 $\omega_{\rm s}\ge 2\omega_{\rm M}$
\end{enum}

满足上述要求时可以通过理想低通滤波器从 $X_p(\rmj\omega)$ 中恢复出 $X(\rmj\omega)$\\
由于采样时有 $1/T$ 的衰减，恢复滤波器要有 $T$ 的增益

\begin{quote}
由于理想低通滤波器不可实现，工程上常用 $\omega_{\rm s} > 4\omega_{\rm M}$
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.95\textwidth]{figures/采样无失真条件示意图.pdf}
    \caption{采样无失真条件示意图}
    \label{fig:采样无失真条件示意图}
\end{figure}

\subsubsection{理想采样的恢复}
若 $H(\rmj\omega)$ 是理想低通滤波器的频率响应，则 $X(\rmj\omega) = X_p(\rmj\omega) \cdot H(\rmj\omega)$\\
若 $h(t)$ 是理想低通滤波器的单位冲激响应，则
$$
\begin{aligned}
    x(t) &= x_{p}(t) * h(t)\\
         &= \int_{-\infty}^{+\infty} x_p(\tau) \cdot h(t-\tau) \d \tau\\
         &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \,\delta(\tau-nT)\right] h(t-\tau) \d\tau\\
         &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot h(t-nT)\\
         &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot T \cdot \frac{\sin\big(\omega_{\rm c}(t-nT)\big)}{\pi(t-nT)}
\end{aligned}
$$

以最低频率无失真理想采样，则 $\omega_{\rm c} = \omega_{\rm M} = \omega_{\rm s}/2$，则$T = 2\pi/\omega_{\rm s} = \pi/\omega_{\rm c}$
$$
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot \frac{\sin\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]}{\frac{\pi}{T}(t-nT)}
$$
这可视为利用一系列 $\sinc$ 函数对 $x(nT)$ 进行插值，称为\emph{理想内插}或时域中的带限内插
\begin{enum}
    \item 以理想低通滤波器的单位冲激响应作为内插函数
    \item 在采样点处只有一个函数值不为0，恢复信号在采样点的值等于采样值
\end{enum}

\subsection{欠采样}

利用周期性脉冲串进行采样时，若采样频率 $\omega_{\rm s}<2\omega_{\rm M}$ 则被采样信号发生\emph{频谱混叠}

\begin{quote}
    即使发生欠采样，理想采样的恢复信号在采样点处的值仍然等于采样值
\end{quote}

\subsubsection{欠采样的工程应用}
对于连续时间周期信号，即使欠采样有时也可得到“正确”的波形，
如图 \ref{fig:欠采样示波器原理图},\ref{fig:欠采样示波器频域原理图} 是欠采样示波器的原理

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/欠采样示波器.pdf}
    \caption{欠采样示波器时域原理图}
    \label{fig:欠采样示波器原理图}
\end{figure}


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \renewcommand{\myvarx}{1.5}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[above  left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.6) -- (0,2) node[below right] {$X(\rmj\omega)$};
        \draw[very thick,blue] (-\myvarx*2,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,blue] (-\myvarx*1,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,blue] ( \myvarx*0,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,blue] ( \myvarx*1,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,blue] ( \myvarx*2,0) -- ++(0,-0.5);
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[above  left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.6) -- (0,2) node[below right] {$P(\rmj\omega)$};
        \draw[-latex,very thick,BrickRed](-0.85*\myvarx*3,0) -- ++(0,1);
        \draw[-latex,very thick,red ]    (-0.85*\myvarx*2,0) -- ++(0,1);
        \draw[-latex,very thick,Orange]  (-0.85*\myvarx*1,0) -- ++(0,1);
        \draw[-latex,very thick,Plum]    ( 0.85*\myvarx*0,0) -- ++(0,1);
        \draw[-latex,very thick,Cyan]    ( 0.85*\myvarx*1,0) -- ++(0,1);
        \draw[-latex,very thick,Blue]    ( 0.85*\myvarx*2,0) -- ++(0,1);
        \draw[-latex,very thick,Black]   ( 0.85*\myvarx*3,0) -- ++(0,1);
        \draw[thick ] (-0.85*\myvarx*4,0.5) node{$\cdots$};
        \draw[thick ] ( 0.85*\myvarx*4,0.5) node{$\cdots$};
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[above  left] {$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.6) -- (0,2.5) node[below right] {$X_p(\rmj\omega)$};
        \draw[very thick,BrickRed] (-\myvarx*1+0.85*\myvarx*-3,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,BrickRed] ( \myvarx*0+0.85*\myvarx*-3,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,BrickRed] ( \myvarx*1+0.85*\myvarx*-3,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,BrickRed] ( \myvarx*2+0.85*\myvarx*-3,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,red     ] (-\myvarx*2+0.85*\myvarx*-2,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,red     ] (-\myvarx*1+0.85*\myvarx*-2,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,red     ] ( \myvarx*0+0.85*\myvarx*-2,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,red     ] ( \myvarx*1+0.85*\myvarx*-2,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,red     ] ( \myvarx*2+0.85*\myvarx*-2,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Orange  ] (-\myvarx*2+0.85*\myvarx*-1,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Orange  ] (-\myvarx*1+0.85*\myvarx*-1,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Orange  ] ( \myvarx*0+0.85*\myvarx*-1,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,Orange  ] ( \myvarx*1+0.85*\myvarx*-1,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Orange  ] ( \myvarx*2+0.85*\myvarx*-1,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Plum    ] (-\myvarx*2+0.85*\myvarx*0 ,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Plum    ] (-\myvarx*1+0.85*\myvarx*0 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Plum    ] ( \myvarx*0+0.85*\myvarx*0 ,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,Plum    ] ( \myvarx*1+0.85*\myvarx*0 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Plum    ] ( \myvarx*2+0.85*\myvarx*0 ,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Cyan    ] (-\myvarx*2+0.85*\myvarx*1 ,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Cyan    ] (-\myvarx*1+0.85*\myvarx*1 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Cyan    ] ( \myvarx*0+0.85*\myvarx*1 ,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,Cyan    ] ( \myvarx*1+0.85*\myvarx*1 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Cyan    ] ( \myvarx*2+0.85*\myvarx*1 ,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Blue    ] (-\myvarx*2+0.85*\myvarx*2 ,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Blue    ] (-\myvarx*1+0.85*\myvarx*2 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Blue    ] ( \myvarx*0+0.85*\myvarx*2 ,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,Blue    ] ( \myvarx*1+0.85*\myvarx*2 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Blue    ] ( \myvarx*2+0.85*\myvarx*2 ,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Black   ] (-\myvarx*2+0.85*\myvarx*3 ,0) -- ++(0,-0.5);
        \draw[very thick,Black   ] (-\myvarx*1+0.85*\myvarx*3 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[very thick,Black   ] ( \myvarx*0+0.85*\myvarx*3 ,0) -- ++(0, 1.5);
        \draw[very thick,Black   ] ( \myvarx*1+0.85*\myvarx*3 ,0) -- ++(0, 0.5);
        \draw[thick ] (-0.85*\myvarx*4,0.75) node{$\cdots$};
        \draw[thick ] ( 0.85*\myvarx*4,0.75) node{$\cdots$};
        \draw[dashed] (-0.6,-0.6) rectangle (0.6,1.6);
    \end{tikzpicture}
    \caption{欠采样示波器频域原理图}
    \label{fig:欠采样示波器频域原理图}
\end{figure}

\subsection{频域采样}
与时域采样完全类似，以 $\omega_{\rm s}$ 为周期在频域理想采样，相当于时域以$T_{\rm s}=2\pi/\omega_{\rm s}$为周期进行延拓\\
若要求频域采样的样本可恢复成原信号，则：
\begin{enum}
\item 原信号时限于 $T_{\rm M}$
\item $T_{\rm s} > 2T_{\rm M}$
\item 利用时域矩形窗口就可以恢复原信号，且恢复滤波器要有 $\omega_{\rm s}$ 的增益
\end{enum}

\begin{quote}
带限信号一定不时限，时限信号一定不带限\\
对时限信号在时域采样一定无法恢复成原信号\\
对带限信号在频域采样一定无法恢复成原信号
\end{quote}

\subsection{连续时间信号的离散时间处理}

\subsubsection{连续时间信号转化为离散时间信号}
对连续时间信号$x_{\rm c}(t)$ 以 $T_{\rm s}$ 为周期理想采样，在时域：
\begin{align*}
    x_{\rm p}(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_{\rm c}(nT_{\rm s}) \cdot \delta(t-nT_{\rm s}) &
    x_{\rm d}[n] &= x_{\rm c}(nT_{\rm s})
\end{align*}

上两式分别傅立叶变换到频域：
\begin{align*}
    X_{\rm p}(\rmj\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_{\rm c}(nT_{\rm s}) \cdot \delta(t-nT_{\rm s}) \right]
                       \rme^{-\rmj\omega t} \d t &
    X_{\rm d}(\rme^{\,\rmj\Omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_{\rm c}(nT_{\rm s})\,\rme^{-\rmj\Omega n} \\
                    &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_{\rm c}(nT_{\rm s}) \rme^{-\rmj\omega nT_{\rm s}}
\end{align*}

其中 $\omega$ 指代$X_{\rm p}(\rmj\omega)$的频域，$\Omega$ 指代$X_{\rm d}(\rme^{\,\rmj\Omega})$的频域\\
可以看出：$\Omega = \omega T_{\rm s}$，其中 $T_{\rm s}=2\pi/\omega_{\rm s}$
\begin{enum}
    \item $X_{\rm p}(\rmj\omega)$ 以$\omega_{\rm s}$ 为周期，而 $X(\rme^{\,\rmj\Omega})$ 以$2\pi$ 为周期
    \item $X_{\rm p}(\rmj\omega)$ 的$\omega=k\omega_{\rm s}$ 对应于$X(\rme^{\,\rmj\Omega})$的$\Omega=k\cdot2\pi$
    \item 频域横轴进行线性映射，纵轴进行恒等映射
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \renewcommand{\myvarx}{0.5}
    \renewcommand{\myvary}{0.8}
    \renewcommand{\myvarz}{0.4}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[above left ]{$t$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.0) node[below right]{$x_{\rm c}(t)$};
        \draw[thick,blue ] plot[smooth] coordinates {(-\myvarx*4,0.8)(-\myvarx*2,1.3)(\myvarx*2,0.3)(\myvarx*4,0.8)};
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[above left ]{$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.0) node[below right]{$X_{\rm c}(\rmj\omega)$};
        \draw[thick,blue] (-\myvarz,0) -- (0,1.5*0.8) -- (\myvarz,0);
        \draw[thick,blue] ( 0,1.5*0.8) node[left]{$1$};
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[above left ]{$t$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.0) node[below right]{$x_{\rm p}(t)$};
        \draw[gray,dashed] plot[smooth] coordinates {(-\myvarx*4,0.8)(-\myvarx*2,1.3)(\myvarx*2,0.3)(\myvarx*4,0.8)};
        \draw[-latex,blue] (-2*\myvary,0) node[below]{$-2T_{\rm s}$} -- ++(0,1.10);
        \draw[-latex,blue] (-1*\myvary,0) node[below]{$ -T_{\rm s}$} -- ++(0,1.23);
        \draw[-latex,blue] ( 0*\myvary,0) node[below right]{$  0  $} -- ++(0,0.80);
        \draw[-latex,blue] ( 1*\myvary,0) node[below]{$  T_{\rm s}$} -- ++(0,0.37);
        \draw[-latex,blue] ( 2*\myvary,0) node[below]{$ 2T_{\rm s}$} -- ++(0,0.50);
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[above left ]{$\omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.0) node[below right]{$X_{\rm p}(\rmj\omega)$};
        \draw[thick,blue]  (-3.0*\myvary-\myvarz,0) -- ++(\myvarz,1.5) -- ++(\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  (-1.5*\myvary-\myvarz,0) -- ++(\myvarz,1.5) -- ++(\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  ( 0.0*\myvary-\myvarz,0) -- ++(\myvarz,1.5) -- ++(\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  ( 1.5*\myvary-\myvarz,0) -- ++(\myvarz,1.5) -- ++(\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  ( 3.0*\myvary-\myvarz,0) -- ++(\myvarz,1.5) -- ++(\myvarz,-1.5);
        \draw[dashed,blue] (-3.0*\myvary,0) node[below] {$-2\omega_{\rm s}$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] (-1.5*\myvary,0) node[below] {$ -\omega_{\rm s}$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] ( 0.0*\myvary,0) node[below right]          {$0$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] ( 1.5*\myvary,0) node[below] {$  \omega_{\rm s}$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] ( 3.0*\myvary,0) node[below] {$ 2\omega_{\rm s}$} -- ++(0,1.5);
        \draw[thick,blue]  (0,1.5) node[left]{$1/T_{\rm s}$};
        \draw[blue] (-3.0,0.75) node{$\cdots$};
        \draw[blue] ( 3.0,0.75) node{$\cdots$};
    \end{tikzpicture}\\
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[above left ]{$n$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.0) node[below right]{$x_{\rm d}[n]$};
        \draw[gray,dashed] plot[smooth] coordinates
                    {(-1.25*\myvarx*4,0.8)(-1.25*\myvarx*2,1.3)(1.25*\myvarx*2,0.3)(1.25*\myvarx*4,0.8)};
        \draw[blue,fill=blue] (-2*1.25*\myvary,0) node[below]      {$-2$} -- ++(0,1.10) circle[fill=blue,radius=0.05];
        \draw[blue,fill=blue] (-1*1.25*\myvary,0) node[below]      {$-1$} -- ++(0,1.23) circle[fill=blue,radius=0.05];
        \draw[blue,fill=blue] ( 0*1.25*\myvary,0) node[below right]{$ 0$} -- ++(0,0.80) circle[fill=blue,radius=0.05];
        \draw[blue,fill=blue] ( 1*1.25*\myvary,0) node[below]      {$ 1$} -- ++(0,0.37) circle[fill=blue,radius=0.05];
        \draw[blue,fill=blue] ( 2*1.25*\myvary,0) node[below]      {$ 2$} -- ++(0,0.50) circle[fill=blue,radius=0.05];
    \end{tikzpicture}\quad
    \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[above left ]{$\Omega$};
        \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,2.0) node[below right]{$X_{\rm d}(\rme^{\,\rmj\omega})$};
        \draw[thick,blue]  (-3.0*0.8*\myvary-0.8*\myvarz,0) -- ++(0.8*\myvarz,1.5) -- ++(0.8*\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  (-1.5*0.8*\myvary-0.8*\myvarz,0) -- ++(0.8*\myvarz,1.5) -- ++(0.8*\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  ( 0.0*0.8*\myvary-0.8*\myvarz,0) -- ++(0.8*\myvarz,1.5) -- ++(0.8*\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  ( 1.5*0.8*\myvary-0.8*\myvarz,0) -- ++(0.8*\myvarz,1.5) -- ++(0.8*\myvarz,-1.5);
        \draw[thick,blue]  ( 3.0*0.8*\myvary-0.8*\myvarz,0) -- ++(0.8*\myvarz,1.5) -- ++(0.8*\myvarz,-1.5);
        \draw[dashed,blue] (-3.0*0.8*\myvary,0) node[below]  {$-2\pi$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] (-1.5*0.8*\myvary,0) node[below]  {$ -\pi$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] ( 0.0*0.8*\myvary,0) node[below right]{$0$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] ( 1.5*0.8*\myvary,0) node[below]  {${\color{white}-}\pi{\color{white}-}$} -- ++(0,1.5);
        \draw[dashed,blue] ( 3.0*0.8*\myvary,0) node[below]  {$ 2\pi$} -- ++(0,1.5);
        \draw[thick,blue]  (0,1.5) node[left]{$1/T_{\rm s}$};
        \draw[blue] (-2.8,0.75) node{$\cdots$};
        \draw[blue] ( 2.8,0.75) node{$\cdots$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{连续时间信号转离散时间信号示意图}
    \label{fig:连续时间信号转离散时间信号示意图}
\end{figure}

\section{离散傅立叶变换}

\subsection{离散傅立叶变换的推导}
若希望在频域进行数字处理，必须使频域是离散的\\
对于一个有限长序列 $x[n]$来说，只能通过DTFT得到连续频谱。两种解决方案：
\begin{enum}
\item 对 $x[n]$ 进行周期性延拓，从而可以通过DFS得到离散频谱
\item 对 $x[n]$ 的频谱进行采样，从而得到离散频谱
\end{enum}

两种方案实质上是等价的，都是依赖 $x[n]$ 的时限性，在不损失信息的条件下将频谱离散化

\subsubsection{从DFS到DFT}
现有长度为 $N$ 的有限长序列 $x[n]$，将其延拓为以 $N$ 为周期的无限长序列 $\tilde x[n]$
$$
\tilde x[n] = (x[n])_N = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[n-kN]
$$

反向转化：
$$
R_N[n] = \begin{cases}
    1 , &0\le n\le N-1\\
    0 , &\text{else}
\end{cases}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
x[n] = \tilde x[n] \cdot R_N[n]
$$

记 $X[k] = NA_k$ 且 $W_N = \rme^{-\rmj 2\pi/N}$，则DFS可表示为：
$$
\begin{aligned}
    \tilde x[n] &= \sum_{k=0}^{N-1} A_k \exp\left( \rmj k \frac{2\pi}{N}n \right)\\
    A_k &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \tilde x[n] \cdot \exp\left( -\rmj k\frac{2\pi}{N}n \right)\\
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    \tilde x[n] &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \widetilde X[k] \, W_N^{-kn}\\
    \widetilde X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} \tilde x[n] \, W_N^{kn}
\end{aligned}
$$

取 $\tilde x[n]$ 的主值周期 $0\le n\le N-1$ 记为 $x[n]$\\
取 $\tilde X[k]$ 的主值周期 $0\le k\le N-1$ 记为 $X[k]$\\
得到有限长序列的\emph{离散傅里叶变换 DFT}
$$
\boxed{
    \begin{aligned}
        x[n] &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, W_N^{-kn}, &0\le n\le N-1\\
        X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, W_N^{kn}, &0\le k\le N-1
    \end{aligned}
}
\qquad\qquad
W_N = \exp\left(-\rmj \frac{2\pi}{N}\right)
$$

DFT表明：时域的$N$ 点有限长序列可变换为频域的$N$ 点有限长序列

\subsubsection{从DTFT到DFT}
现有长度为 $N$ 的有限长序列 $x[n]$，经过 DTFT 后得到其周期性的连续频谱 $X(\rme^{\,\rmj\omega})$\\
对 $X(\rme^{\,\rmj\omega})$ 在 $\omega=k\cdot 2\pi/N$ 处进行频域采样，这相当于在频域以 $N$ 为周期进行延拓\\
由于 $x[n]$ 的非零区间长度为 $N$，这样的周期性延拓不会造成混叠\\
截取 $k=0,\cdots N-1$ 这 $N$ 个点，从而得到如下变换式，其中 $0\le k\le N-1$
\begin{align*}
X[k] = X(\rme^{\,\rmj k\cdot 2\pi/N}) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\cdot\rme^{-\rmj\omega n}\Big|_{\omega=k\cdot 2\pi/N}\\
                                      &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot W_N^{kn}
\end{align*}

若在$x[n]$频域中的一个周期内采样 $M$ 个点，则时域中 $x[n]$ 将以 $M$ 为周期进行延拓\\
只要 $M$大于序列长度$N$就可以完全恢复原信号

\begin{quote}
    实际上，只有在频域进行周期性冲激串采样才能在时域进行周期性延拓\\
    这里相当于
    $$
    \widetilde X(\rme^{\,\rmj\omega}) = 
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) \cdot \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\omega-k\cdot \frac{2\pi}{N}\right) 
    = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X[k] \cdot \delta\left(\omega-k\cdot \frac{2\pi}{N}\right) 
    $$
\end{quote}

要恢复频域，只需在时域中截取 $0\le n\le N-1$ ，也即时域乘以如下函数（注意恢复滤波器要有增益）：
$$
r[n] = \begin{cases}
    2\pi/N, &0\le n\le N-1\\
    0, &\text{else}
\end{cases}
\qquad\qquad\xrightarrow{\;\;\mathscr F\;\;}\qquad\qquad
R(\rme^{\,\rmj\omega}) = \frac{2\pi}{N}\frac{\sin(N\omega/2)}{\sin(\omega/2)} \exp\left(-\rmj \frac{N-1}{2} \omega\right)
$$

频域的内插恢复
$$
\begin{aligned}
    X(\rme^{\,\rmj\omega}) 
    &= \frac{1}{2\pi} \widetilde X(\rme^{\,\rmj\omega}) \otimes R(\rme^{\,\rmj\omega})\\
    &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left[\sum_{k=0}^{N-1} X[k] \,\delta\left(\Omega-\frac{2\pi}{N}k\right)\right]
       R(\rme^{\,\rmj(\omega-\Omega)}) \d\Omega\\
    &= \frac{1}{2\pi} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot R(\rme^{\,\rmj\Omega}) \Big|_{\Omega=\omega-2\pi k/N}\\
    &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot 
       \frac{\sin(N\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)} \exp\left(-\rmj \frac{N-1}{2} \Omega\right)\bigg|_{\Omega = \omega-2\pi k/N}
\end{aligned}
$$

\subsection{离散傅立叶变换的性质}
暂缺

\subsection{离散傅立叶变换的几个问题}

\subsubsection{频谱泄露}
对于一个时域无限长的序列\emph{截断}相当于时域乘以窗函数\\
在频域则与窗函数的频谱卷积，这使得DFT展现出的频谱与原信号的频谱不同，称频谱泄露

\begin{quote}
    频谱泄露表现为将原本聚集于某个频率的能量分散到附近频率
\end{quote}

对周期信号，若能恰好整周期截断，则无频谱泄露现象

\subsubsection{频率分辨率}
对连续时间信号 $x_{\rm a}(t)$ 以 $\omega_{\rm s} = 2\pi f_{\rm s}$ 的频率采样，每 $N$ 点截断做DFT\\
这 $N$ 点代表 $x_{\rm a}(t)$ 信号长度为 $t_{\rm p} = N/f_{\rm s}$ 的一段

在数字频域，在 $[0,2\pi]$ 区间上均匀分布 $N$ 个点\\
在模拟频域，在 $[0,\omega_{\rm s}]$ 区间上均匀分布 $N$ 个点

数字角频率分辨率 $2\pi/N$\\
模拟角频率分辨率 $\omega_{\rm s}/N = 2\pi/t_{\rm p}$
\begin{enum}
\item 模拟域的频率分辨率只与 $t_{\rm p}$ 有关
\item 增大采样点数 $N$ 而控制采样频率 $\omega_{\rm s}$ 不变，会增大 $t_{\rm p}$ 从而优化模拟频率分辨率
\item 增大采样频率 $\omega_{\rm s}$ 而控制采样点数 $N$ 不变，会减小 $t_{\rm p}$ 从而劣化模拟频率分辨率
\item 数字域的频率分辨率只与 $N$ 有关，但通常不关心
\item 无论如何都有频谱泄露现象，{\kaishu 但增大 $t_{\rm p}$ 也有利于缓解频谱泄露}
\end{enum}

\subsubsection{栅栏效应}
DFT作为离散频谱是对所截取的信号进行频谱采样得到，仅能等间隔展现出部分频率分量，称栅栏效应\\
为缓解栅栏效应需要增加频域采样频率，也就是时域延拓的周期，相当于在截取的信号末尾补0
\subsection{快速傅立叶变换}
暂缺

\section{拉普拉斯变换}
发展傅立叶以外的变换方法的必要性：
\begin{enum}
\item 复指数信号 $\rme^{st}, z^n$ 是一切LTI系统的特征函数，而傅立叶变换所用 $\rme^{\,\rmj\omega t},\rme^{\,\rmj\omega n}$ 只是其特例
\item 一些信号的傅立叶变换数学上不收敛，需要寻找其它方式进行分析
\item 拉普拉斯变换与Z变换可用于很多系统的稳定性分析
\item 拉普拉斯变换与Z变换的零极点图给系统设计带来便利
\end{enum}

\subsection{双边拉普拉斯变换}
\subsubsection{双边拉氏变换的定义}
仿照傅立叶变换，令 $s=\sigma+\rmj\omega$ 定义双边拉普拉斯变换：
\begin{align*}
    X(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \,\rme^{-st} \d t\\
         &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[x(t)\,\rme^{-\sigma t}\right] \rme^{-\rmj\omega t} \d t\\
         &= \mathscr F\left[x(t)\,\rme^{-\sigma t}\right]
\end{align*}
利用傅立叶反变换推导拉普拉斯反变换：
$$
\begin{aligned}
    x(t)\,\rme^{-\sigma t} &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\sigma+\rmj\omega) \,\rme^{\,\rmj\omega t} \d\omega\\
    &= \frac{\rme^{-\sigma t}}{2\pi\rmj}\int_{\sigma-\rmj\infty}^{\sigma+\rmj\infty}
    X(\sigma+\rmj\omega)\,\rme^{\sigma+\rmj\omega} \d(\sigma+\rmj\omega)
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
x(t) = \frac{1}{2\pi\rmj} \int_{\sigma-\rmj\infty}^{\sigma+\rmj\infty} X(s) \,\rme^{st} \d s
$$

从定义上看双边拉普拉斯变换的基本特征
\begin{enum}
    \item $\sigma=0$ 即 $s$ 在$\rmj\omega$轴上时，退化为傅立叶变换
    \item $\sigma>0$ 时 $\rme^{-\sigma t}$ 起衰减作用，$\sigma$ 足够正向大可使$t\to+\infty$发散的信号收敛，
          使$t\to-\infty$收敛的信号发散
    \item $\sigma<0$ 时 $\rme^{-\sigma t}$ 起增益作用，$\sigma$ 足够负向大可使$t\to+\infty$收敛的信号发散，
          使$t\to-\infty$发散的信号收敛
    \item $\rmj\omega$ 与收敛性无关
    \item 综上，拉普拉斯变换将对 $\sigma$ 存在收敛域，在 $s$ 平面上表现为平行于 $\rmj\omega$ 轴的带状区域
    \item 相同的 $X(s)$ 配合不同的收敛域，可能对应着不同的时域信号
    \item 拉氏变换及其收敛域一起，才能与时域信号建立一一对应关系
\end{enum}

$$
\boxed{
    \begin{aligned}
        X(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\rme^{-st} \d t\\
        x(t) &= \frac{1}{2\pi\rmj} \int_{\sigma-\rmj\infty}^{\sigma+\rmj\infty} X(s) \,\rme^{st} \d s
    \end{aligned}
}
$$

\subsubsection{拉氏变换的收敛域}

\begin{enum}
    \item 不能使拉氏变换积分收敛的$\sigma$ 对应着$s$平面上 $X(s)$ 的极点
    \item 在收敛域内$X(s)$ 无任何极点
    \item 时限信号的收敛域为整个 $s$ 平面（有限区间内积分总能收敛）
    \item 右边信号的收敛域是$s$平面上某条 $\sigma=\sigma_0$ 直线的右侧全部区域
    \item 左边信号的收敛域是$s$平面上某条 $\sigma=\sigma_0$ 直线的左侧全部区域
    \item 双边信号的收敛域是$s$平面上平行于 $\rmj\omega$ 轴的带状区域
\end{enum}

\begin{quote}
    $\sigma$ 足够接近 $+\infty$ 时，向 $t=+\infty$ 延伸的积分能够收敛\\
    $\sigma$ 足够接近 $-\infty$ 时，向 $t=-\infty$ 延伸的积分能够收敛\\
    $\sigma$ 处于某带状区域时，向 $t=\pm\infty$ 延伸的积分能够收敛
\end{quote}

\paragraph{拉氏变换的零极点}
若 $X(s)$ 为有理函数，则分子分母零点相约分后\\
分母的零点为 $X(s)$ 的极点，分子的零点为 $X(s)$ 的零点\\
在$s$平面上标注出零极点，就可描绘出一个有理 $X(s)$ 的特性（只差常数倍）

对于有理的 $X(s)$ 其收敛域总是由 $X(s)$ 的极点分割的
\begin{enum}
    \item 右边信号的收敛域为最右侧极点的右侧
    \item 左边信号的收敛域为最左侧极点的左侧
    \item 双边信号的收敛域为某两个相邻极点之间
\end{enum}

\subsubsection{拉氏变换的性质}
双边拉氏变换的性质如表 \ref{tab:双边拉普拉斯变换的性质} 所示

\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{双边拉普拉斯变换的性质}
    \label{tab:双边拉普拉斯变换的性质}
    \begin{tabular}{cAc}
         \toprule
         性质     & \multicolumn{2}{c}{表达式\quad\quad}  & 收敛域\\
         \midrule
         线性性质 & ax_1(t)+bx_2(t) & aX_1(s) + bX_2(s) & $R_3\supseteq (R_1\cap R_2)$\\
         %对偶性质 &  X(\rmj t) & 2\pi \cdot x(-\omega) \\
         \midrule
         共轭对称 &  x^{\color{blue}*}(t) & X^{\color{blue}*}(s^{\color{blue}*}) & $R$ \\
         尺度变换 &  x({\color{blue}a}t) & X(s{\color{blue}/a}){\color{blue}\,/\,|a|} & $aR$ \\
         \midrule
         时移性质 &  x(t-t_0) & {\color{blue}\rme^{-s t_0}}X(s) & $R$ \\
         s 移性质 &  {\color{blue}\rme^{s_0t}}x(t) & X(s-s_0) & $R+\operatorname{Re}(s_0)$ \\
         \midrule
         时域微分 &  {\color{blue}\dfrac{\d^n}{\d t^n}}x(t) & {\color{blue}s^n}X(s) & $R_3\supseteq R$\\
         频域微分 &  {\color{blue}t^n}x(t) & {\color{blue}(-1)^n\dfrac{\d^n}{\d s^n}}X(s) & $R$\\
         \midrule
         时域积分 & {\color{blue}\displaystyle\int_{-\infty}^{t}}x(t){\color{blue}\d t} &%
         {\color{blue}\dfrac{1}{s}}X(s) & $R_3\supseteq \big(R\cap\{\operatorname{Re}(s)>0\}\big)$\\
         %频域积分 & \dfrac{x(t)}{\color{blue}-\rmj t} + {\color{blue}\pi x(0)\,\delta(t)} & %
         %           {\color{blue}\displaystyle\int_{-\infty}^{\omega}} X(s){\color{blue}\;\d\omega}\\
         \midrule
         卷积性质 &  x_1(t)*x_2(t) & X_1(s)\cdot X_2(s) & $R_3\supseteq(R_1\cap R_2)$\\
         %调制性质 &  x_1(t)\cdot x_2(t) & X_1(s) * X_2(s) {\color{blue}/2\pi} \\
         %\midrule
         %Parseval 定理 &  \multicolumn{2}{c}{$\;\,\;\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \d t%
         %= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \big|X(s)\big|^2 \d\omega$} \\
         \midrule
         初值定理 & \multicolumn{2}{c}{\qquad$x(0^+) = \lim\limits_{s\to\infty} s\,X(s)$}\; & \\
         终值定理 & \multicolumn{2}{c}{$\lim\limits_{t\to\infty}x(t) = \lim\limits_{s\to0} s\,X(s)$} & \\
         \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

在一些性质中收敛域发生了可能的扩大，因为参与运算的各信号的零极点互相抵消

\paragraph{共轭对称性}
若 $\mathscr L\left[x(t)\right] = X(s),\, s\in R$ 则：
\begin{align*}
    \mathscr L\left[x^*(t)\right] &= \left[\int_{-\infty}^{+\infty} x^*(t) \,\rme^{-st} \d t\right] & &\\
                                  &= \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \,\rme^{-s^*t} \d t \right]^* &
                                  &s^* \in R \\
                                  &= X^*(s^*) &
                                  &s \in R 
\end{align*}

对于实信号 $x(t)$ 必有 $X^*(s^*) = X(s)$ 即 $X(s^*) = X^*(s)$\\
\emph{实信号的零点（极点）共轭地成对出现}

\paragraph{卷积性质}
对于 $x_1(t) * x_2(t)$
\begin{align*}
    \mathscr L\left[ x_1(t) * x_2(t)\right] 
    &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x_1(\tau)\,x_2(t-\tau) \d\tau \right] \rme^{-st} \d t \\
    &= \int_{-\infty}^{+\infty} x_1(\tau)\,\rme^{-s\tau} 
    \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x_2(t-\tau) \,\rme^{-s(t-\tau)}\d(t-\tau) \right]\d\tau \\
    &= X_1(s) \cdot X_2(s)
\end{align*}

\paragraph{初值与终值定理}
若 $x(t)$ 是因果信号，且在$t=0$ 不包含奇异函数，则：
$$
x(0^+) = \lim_{s\to\infty} s\cdot X(s)
$$

%证明如下，因果信号在 $t<0$ 时有 $x(t)=0$，又由于在 $t=0$ 时不包含奇异函数，可知 $x(t) = x(t) \cdot u(t)$

若 $x(t)$ 是因果信号，且在$t=0$ 不包含奇异函数\\
且 $X(s)$ 除了在 $s=0$ 可以有一级极点外，其余极点均在$s$平面的左半边，则：
$$
\lim_{t\to\infty}x(t) = \lim_{s\to0} s\cdot X(s)
$$

\subsubsection{极点分布与信号终值的关系}
如图 \ref{fig:极点分布与信号终值的关系} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.55\textwidth]{figures/极点分布与信号终值.jpg}
    \caption{极点分布与信号终值的关系}
    \label{fig:极点分布与信号终值的关系}
\end{figure}

\subsubsection{常用拉氏变换对}
常用信号的拉氏变换及其收敛域
\begin{align*}
    x(t) &= \delta(t) &
    X(s) &= 1 &
         &\forall s\\
    x(t) &= \delta(t-t_0) &
    X(s) &= \rme^{-st_0} &
         &\forall s\\
    x(t) &= u(t) &
    X(s) &= \frac{1}{s} &
         &\Re(s) >0\\
    x(t) &= \rme^{-at} \,u(t) &
    X(s) &= \frac{1}{s+a} &
         &\Re(s+a)>0 \\
    x(t) &= t^n\,u(t) &
    X(s) &= \frac{n!}{s^{n+1}} &
         &\Re(s)>0
\end{align*}

\subsection{系统函数}
对连续时间信号与系统的三种分析方法
\begin{enum}
    \item 以卷积为基础的时域分析
    \item 以 $\rme^{\,\rmj\omega t}$ 为基底的频域分析，频率响应 $H(\rmj\omega)$ 
    \item 以 $\rme^{st}$ 为基底的s域分析，系统函数$H(s)$（传递函数、转移函数）
\end{enum}

\subsubsection{系统函数与LTI系统的性质}
\paragraph{因果系统}
因果系统的 $h(t)$ 是右边信号，$H(s)$ 右侧收敛\\
反因果系统 $h(t)$ 是左边信号，$H(s)$ 左侧收敛

右边收敛的 $H(s)$ 只能对应于右边信号 $h(t)$，但不能确定$h(t)\big|_{t<0}=0$，不能确定系统为因果系统\\
可以证明：当 $H(s)$ 为有理函数时，右边收敛的 $H(s)$ 对应于因果系统

\paragraph{稳定系统}
稳定系统必定有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \big|h(t)\big| \d t < \infty
$$
因此$\mathscr F\big[h(t)\big] = H(\rmj\omega)$ 必定存在\\
因此稳定系统的 $H(s)$ 必定在 $\rmj\omega$ 轴上收敛

{\kaishu 可以证明：若 $H(s)$ 的收敛域包含 $\rmj\omega$ 轴则系统稳定？？}

\paragraph{总结：系统函数与系统的因果稳定性}
当LTI系统的$H(s)$ 为有理函数时：
\begin{enum}
\item \makebox[2.6cm][l]{系统因果      } $\iff$ $H(s)$ 的收敛域为最右极点的右侧
\item \makebox[2.6cm][l]{系统反因果    } $\iff$ $H(s)$ 的收敛域为最左极点的左侧
\item \makebox[2.6cm][l]{系统因果、稳定} $\iff$ 所有极点位于S平面的左半平面
\end{enum}

\subsubsection{系统函数与LCCDE}
对LCCDE做拉氏变换得到：
$$
\sum_{k=0}^N a_k \frac{\d^k y}{\d t^k} = \sum_{k=0}^N b_k \frac{\d^k x}{\d t^k}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\sum\limits_{k=0}^Nb_ks^k}{\sum\limits_{k=0}^Na_ks^k} = \frac{N(s)}{D(s)}
$$

若系统为LTI系统，则要求初始松弛条件，此时 $H(s)$ 的收敛域一定是最右侧极点的右侧

\subsubsection{系统函数与系统互联}
级联时：
$$
H(s) = H_1(s)\cdot H_2(s),\qquad R\supseteq (R_1\cap R_2)
$$

并联时：
$$
H(s) = H_1(s) + H_2(s),\qquad R\supseteq (R_1\cap R_2)
$$

反馈连接时：
$$
\begin{cases}
W(s) = X(s) - Y(s) \cdot H_2(s)\\
Y(s) = W(s) \cdot H_1(s)
\end{cases}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{H_1(s)}{1+H_1(s)\,H_2(s)},
\qquad
R \supseteq (R_1\cap R_2)
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/系统函数与系统互联.pdf}
    \caption{系统函数与系统互联}
    \label{fig:系统函数与系统互联}
\end{figure}

\subsubsection{LTI系统的级联结构}
对于LCCDE描述的LTI系统，取拉氏变换后将和式转为积式
$$
H(s) = \frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{M}b_ks^k}{\displaystyle\sum_{k=0}^N a_ks^k} 
= \frac{b_M\displaystyle\prod_{k=1}^M(s+\lambda_k)}{a_N\displaystyle\prod_{k=1}^N(s+\gamma_k)}
$$
由于分子分母多项式的系数均为实数，转变为一次连乘后系数 $\lambda_k,\gamma_k$ 中的复数项必定共轭成对出现\\
假定分子的共轭项有 $p$ 对，分母的共轭项有 $q$ 对，将这些共轭项合并成为实数二次项
$$
H(s)=\frac{b_{M}}{a_{N}} \cdot \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{p}\left(s^{2}+\beta_{1 k} s+\beta_{0 k}\right)}
{\displaystyle\prod_{k=1}^{q}\left(s^{2}+\alpha_{1 k} s+\alpha_{0 k}\right)}
\cdot \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{M-2 p}\left(s-\lambda_{k}\right)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{N-2 q}\left(s+\gamma_{k}\right)}
$$
任意两个实数一次项可乘积为一个实数二次项，可使 $p=q$\\
在 $M=N$ 的情况下：
$$
H(s)=\frac{b_{N}}{a_{N}} \prod_{k=0}^{p} \frac{s^{2}+\beta_{1 k} s+\beta_{0 k}}{s^{2}+\alpha_{1 k} s+\alpha_{0 k}} 
\cdot \prod_{k=1}^{N-2 p} \frac{s+\lambda_{k}}{s+\gamma_{k}}
$$
因此，$N$ 阶LTI系统可分解为一阶、二阶系统的级联\\
在 $N$ 为偶数时还可仅由二阶系统级联而成

所用一阶与二阶系统函数可转化为如下微分方程，从而用图 \ref{fig:一阶与二阶系统方框图} 中的方框图表示\\
将它们按需级联即可得到所需要的 $N$ 阶LTI系统
\begin{align*}
    H_{2k}(s)&=\frac{s^{2}+\beta_{1 k} s+\beta_{0 k}}{s^{2}+\alpha_{1 k} s+\alpha_{0 k}} &
    \frac{\d^2 y}{\d t^2} + \alpha_{1k} \frac{\d y}{\d t} + \alpha_{0k} \,y(t)
             &= \frac{\d^2 x}{\d t^2} + \beta_{1k} \frac{\d x}{\d t} + \beta_{0k} \,x(t)\\
    H_{1k}(s) &= \frac{s+\lambda_{k}}{s+\gamma_{k}} &
    \frac{\d y}{\d t} + \gamma_k \,y(t) &= \frac{\d x}{\d t} + \lambda_k \cdot x(t)
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/一阶与二阶系统方框图.jpg}
    \caption{一阶与二阶系统方框图}
    \label{fig:一阶与二阶系统方框图}
\end{figure}

\begin{quote}
    对于 $N\ne M$ 的系统，一阶系统的 $s$ 以及二阶系统的 $s^2$ 前可能需要再加系数
\end{quote}

\subsubsection{LTI系统的并联结构}
对有理的 $H(s)$，若 $H(s)$ 的分子阶数不高于分母阶数，且所有极点都是一级的\\
可以将 $H(s)$ 展开为部分分式，并可将共轭项合并
\begin{align*}
    H(s) &= \frac{b_N}{a_N} + \sum_{k=1}^N \frac{A_k}{s+\gamma_k} \\
         &= \frac{b_N}{a_N} + \sum_{k=1}^p \frac{\beta_{1k}\,s + \beta_{0k}}{s^2 + \alpha_{1k}\,s + \alpha_{0k}}
                            + \sum_{k=1}^{N-2p} \frac{A_k}{s+\gamma_k}
\end{align*}
因此，可将此 LTI系统转化为一阶与二阶系统的并联，外加 $x(t)$ 的常数倍
\begin{align*}
    H_{1k}(s) &= \frac{A_k}{s+\gamma_k} &
    \frac{\d y}{\d t} + \gamma_k \,y(t) &= A_k\,x(t)\\
    H_{2k}(s) &= \frac{\beta_{1k}\,s + \beta_{0k}}{s^2 + \alpha_{1k}\,s + \alpha_{0k}} &
    \frac{\d^2 y}{\d t^2} + \alpha_{1k} \frac{\d y}{\d t} + \alpha_{0k}\,y(t) &= \beta_{1k} \frac{\d x}{\d t} + \beta_{0k}\,x(t)
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/并联结构.png}
    \caption{LTI系统的并联结构}
    \label{fig:LTI系统的并联结构}
\end{figure}

\subsection{零极点图与LTI系统的特性}
对于有理的 $H(s)$，假定 $\beta_{k}$ 为零点，$\alpha_k$ 为极点
\begin{align*}
    \big|H(s)\big| &= M \frac{\prod_k|s-\beta_k|}{\prod_k|s-\alpha_k|} &
    \arg H(s) &= \sum_k \arg(s-\beta_k) - \sum_k \arg(s-\alpha_k)
\end{align*} 
因此，仅凭零极点图可对 $H(s)$ 的特性做一些定性分析，特别是系统对傅立叶频域的特性\\
对 $\rmj\omega$ 轴上的频率 $\omega$：
\begin{enum}
    \item $s-\beta_k$ 称为零点矢量，$s-\alpha_k$ 称为极点矢量
    \item 距零点远、距极点近：系统对此频率的增益大
    \item 零点矢量、极点矢量的辐角可表示系统对此频率的相移
\end{enum}

\subsection{单边拉普拉斯变换}
暂缺

\section{Z变换}
\subsection{双边Z变换}
用 $z=r\rme^{\,\rmj\omega}$ 定义 Z 变换
$$
\begin{aligned}
    X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\,z^{-n} \\
         &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \big(x[n]\,r^{-n}\big) \rme^{-\rmj\omega n}\\ 
         &= \mathscr F\left(x[n]\, r^{-n}\right)
\end{aligned}
$$


用DTFT来推导Z反变换式
$$
\begin{aligned}
    x[n]\,r^{-n} &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}  X(r\rme^{\,\rmj\omega}) \rme^{\,\rmj\omega n} \d\omega\\
    &= \frac{r^{-n}}{2\pi\rmj}\int_{2\pi}X(r\rme^{\,\rmj\omega})\cdot(r\rme^{\,\rmj\omega})^{n-1} \d(r\rme^{\,\rmj\omega})
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
x[n] = \frac{1}{2\pi\rmj} \oint_{|z|=r} X(z)\,{\color{BrickRed}z^{n-1}} \d z
$$

从定义上看双边Z变换的基本特征
\begin{enum}
    \item $r=1$ 时，即 $z$ 在单位圆上时，Z变换退化为离散时间傅立叶变换
    \item $r>1$ 时$r^{-n}$ 起衰减作用，$r$ 足够正向大可使 $n\to+\infty$ 发散的信号收敛，使$n\to-\infty$ 收敛的信号发散
    \item $r<1$ 时$r^{-n}$ 起增益作用，$r$ 足够正向大可使 $n\to+\infty$ 收敛的信号发散，使$n\to-\infty$ 发散的信号收敛
    \item 当且仅当 $r$ 处于合适的范围内时，Z变换可以收敛，存在收敛域
    \item $\rme^{\,\rmj\omega}$ 与收敛性无关，收敛域边界将为以原点为圆心的圆（环）
    \item 相同的 $X(z)$ 配合不同的收敛域，可能对应着不同的时域信号
    \item Z变换及其收敛域一起，才能与时域信号建立一一对应关系
\end{enum}

$$
\boxed{
    \begin{aligned}
        X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\, z^{-n}\\
        x[n] &= \frac{1}{2\pi\rmj} \oint_{|z|=r} X(z)\,z^{n-1} \d z
    \end{aligned}
}
$$

\subsubsection{Z变换与其它变换的关系}
\paragraph{Z变换与傅立叶变换}
若Z变换的收敛域包括单位圆，则单位圆就对应了DTFT\\
单位圆上点的极坐标角 $\omega$ 就是DTFT的频谱上的频率$\omega$

对单位圆等间隔采样就得到了DFT

\paragraph{Z变换与拉普拉斯变换}
拉普拉斯变换是对连续时间信号进行的，而Z变换是对离散时间信号进行的\\
为探讨两者之间的关系，对连续时间信号$x(t)$以 $T_{\rm s}$ 为周期采样：
\begin{align*}
    x_{\rm p}(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT_{\rm s})\,\delta(t-nT_{\rm s}) &
    x_{\rm d}[n] &= x(nT_{\rm s})
\end{align*}
对 $x_{\rm p}(t)$ 进行拉普拉斯变换，对 $x_{\rm d}[n]$ 进行Z变换
\begin{align*}
    X_{\rm p}(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ 
                    \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT_{\rm s})\,\delta(t-nT_{\rm s})\right]\rme^{-st} \d t &
    X_{\rm d}(z) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT_{\rm s}) \,z^{-n}\\
                 &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT_{\rm s}) \,\rme^{-nsT} &
                 &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT_{\rm s}) \,z^{-n}
\end{align*}
可见，这种情况下有：$z=\rme^{sT_{\rm s}}$\\
也就是说，冲激串采样信号的拉氏变换与采样序列的Z变换之间通过映射 $z=\rme^{sT_{\rm s}}$联系
\begin{enum}
    \item s平面的原点映射为z平面的 $z=1 + 0\rmj$ 点
    \item s平面的$\sigma=+\infty$ 点映射为z平面的 $\infty$ 点
    \item s平面的$\sigma=-\infty$ 点映射为z平面的原点
    \item s平面的$\sigma>0$ 区域映射为 z平面的$|z|>1$ 区域
    \item s平面的$\sigma<0$ 区域映射为 z平面的$|z|<1$ 区域
    \item s平面的$\rmj\omega$ 轴映射为 z平面的单位圆$|z|=1$
    \item s平面的$\rmj\omega$ 轴上长为 $\omega_{\rm s}$ 的一段对应于z平面单位圆的一圈，并周期性重复
    \item s平面的$\rmj\omega$ 轴上 $\omega=\omega_{\rm s}/2{\color{blue}\,+\,k\omega_{\rm s}}$ 
          映射为 z平面单位圆上 $\omega=\pi{\color{blue}\,+\,2k\pi}$ 点
\end{enum}

\begin{quote}
    再次说明，讨论拉氏变换与Z变换之间的关系的前提是两者对同一连续时间信号 $x(t)$ 的采样信号 $x_{\rm p}(t),\,x_{\rm d}[n]$ 进行变换
\end{quote}


\subsubsection{Z变换的收敛域与零极点图}
\begin{enum}
    \item Z变换的收敛域一般为z平面上以原点为圆心的环形区域
    \item 在收敛域内$X(z)$ 无极点
    \item 当 $X(z)$ 为有理函数时，收敛域总以极点所在圆周作为边界
    \item 有限长序列的收敛域是整个\emph{有限} z平面（可能不包括 $z=0,\,z=\infty$）
    \item 右边序列的收敛域是某个圆的外部，但可能不包括 $z=\infty$
    \item 左边序列的收敛域是某个圆的内部，但可能不包括 $z=0$
    \item 双边序列若有收敛域，则收敛域是环形区域
\end{enum}

对于 $z$ 变换式 $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\,z^{-n}$
\begin{enum}
\item 若 $z^{-n}$ 有正幂项 $\iff$ 存在 $x[n<0]\ne 0 \iff x[n]$ 不为因果序列，
      则 $X(z)$ 的收敛域不包括 $z=\infty$
\item 若 $z^{-n}$ 有负幂项 $\iff$ 存在 $x[n>0]\ne 0 \iff x[n]$ 不为反因果序列，
      则 $X(z)$ 的收敛域不包括 $z=0$
\end{enum}

\paragraph{利用零极点图定性判断系统频域性质}

对于有理的 $H(z)$，假定 $z_{i}$ 为零点，$z_p$ 为极点
\begin{align*}
    \big|H(z)\big| &= M \frac{\prod_i|z-z_i|}{\prod_p|z-z_p|} &
    \arg H(z) &= \sum_i \arg(z-z_i) - \sum_p \arg(z-z_p)
\end{align*} 
因此，仅凭零极点图可对 $H(z)$ 的特性做一些定性分析，特别是系统对傅立叶频域的特性\\
对单位圆上的点$z$所对应的频率 $\omega$：
\begin{enum}
    \item $z-z_i$ 称为零点矢量，$z-z_p$ 称为极点矢量
    \item 距零点远、距极点近：系统对此频率的增益大
    \item 零点矢量、极点矢量的辐角可表示系统对此频率的相移
\end{enum}
\subsubsection{Z反变换的求法}
部分分式展开法/留数法：略

\paragraph{幂级数展开法}
Z变换的系统函数 $H(z)$ 总是一个幂级数（洛朗级数）的形式
$$
H(z) = \cdots + {\color{blue}x[-n]\,z^{n}} + \cdots + x[-1]\,z^{1} 
+ x[0] + x[1]\,z^{-n} + \cdots + {\color{blue}x[n]\,z^{-n}} + \cdots
$$
只要能在数学上将给定的 $H(z)$ 在给定的收敛域内展开为幂级数，则幂级数系数通项公式即为 $x[n]$\\
将给定的 $H(z)$ 展开为幂级数可以采用长除法
\begin{enum}
    \item 右边序列有无穷多个负幂项，按降序长除
    \item 左边序列有无穷多个正幂项，按升序长除
    \item 双边序列分解为右边序列与左边序列再分别长除
\end{enum}

例如对于如下 $H(z)$
$$
H(z) = \frac{1+ \dfrac{1}{2} z^{-1}}{1-\dfrac{5}{6} z^{-1} + \dfrac{1}{6}z^{-2}}
= \frac{6}{1-\dfrac{1}{2}z^{-1}} - \frac{5}{1-\dfrac{1}{3}z^{-1}}
, \qquad \frac{1}{3} < |z| < \frac{1}{2}
$$
第一项的收敛域为 $|z|<1/2$ 是左边序列，第二项的收敛域为 $|z|>1/3$ 是右边序列

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.65\textwidth]{figures/左边序列的长除法.png}
    \caption{左边序列的长除法}
    \label{fig:左边序列的长除法}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{figures/右边序列的长除法.png}
    \caption{右边序列的长除法}
    \label{fig:右边序列的长除法}
\end{figure}

\subsubsection{Z变换的性质}
双边Z变换的性质如表 \ref{tab:双边Z变换的性质} 所示，其中 $\mathscr Z$ 表示双边Z变换

\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{双边Z变换的性质}
    \label{tab:双边Z变换的性质}
    \begin{tabular}{cZc}
         \toprule
         性质     & \multicolumn{2}{c}{表达式\quad\quad}  & 收敛域\\
         \midrule
         线性性质 & ax_1[n]+bx_2[n] & aX_1(z) + bX_2(z) & $R_3\supseteq (R_1\cap R_2)$\\
         %对偶性质 &  X(\rmj t) & 2\pi \cdot x(-\omega) \\
         共轭对称 &  x^{\color{blue}*}[n] & X^{\color{blue}*}(z^{\color{blue}*}) & $R$ \\
         \midrule
         时移性质 &  x[n{\color{blue}\,-\,n_0}] & {\color{blue}z^{-n_0}}X(z) & $R$ \\
         频移性质 & \mathrm e^{\,\rmj\omega_0n}\,x[n] & X(\rme^{-\rmj\omega_0}z) & $R$ \\
         Z 域尺度 & {\color{blue}z_0^n} x[n] & X(z{\color{blue}/z_0}) & $|z_0| R$\\
         时域反转 &  x[-n] & X(z^{-1}) & $1/R$ \\
         %时域微分 &  {\color{blue}\dfrac{\d^n}{\d t^n}}x[n] & {\color{blue}s^n}X(z) & $R_3\supseteq R$\\
         \midrule
         Z域微分  &  {\color{blue}n}x[n] & {\color{blue}-z\dfrac{\d}{\d z}}X(z) & $R$\\
         时域求和 & \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] & \dfrac{1}{1-z^{-1}}X(z) & $R_3\supseteq( R\cap |z|>1)$\\
         %\midrule
         %时域积分 & {\color{blue}\displaystyle\int_{-\infty}^{t}}x[n]{\color{blue}\d t} &%
         %{\color{blue}\dfrac{1}{s}}X(z) & $R_3\supseteq \big(R\cap\{\operatorname{Re}(z)>0\}\big)$\\
         %频域积分 & \dfrac{x[n]}{\color{blue}-\rmj t} + {\color{blue}\pi x(0)\,\delta[n]} & %
         %           {\color{blue}\displaystyle\int_{-\infty}^{\omega}} X(z){\color{blue}\;\d\omega}\\
         \midrule
         卷积性质 &  x_1[n]*x_2[n] & X_1(z)\cdot X_2(z) & $R_3\supseteq(R_1\cap R_2)$\\
         %调制性质 &  x_1[n]\cdot x_2[n] & X_1(z) * X_2(z) {\color{blue}/2\pi} \\
         %\midrule
         %Parseval 定理 &  \multicolumn{2}{c}{$\;\,\;\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2 \d t%
         %= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \big|X(z)\big|^2 \d\omega$} \\
         \midrule
         初值定理 & \multicolumn{2}{c}{\qquad$x[0] = \lim\limits_{z\to\infty} X(z)$}\; & \\
         终值定理 & \multicolumn{2}{c}{\qquad\quad\;\,$x[\infty] = \lim\limits_{z\to1} (z-1)\,X(z)$} & \\
         \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

\begin{quote}
从指数的角度考虑，Z域尺度变换实质上是Z域的移动（圆环放大缩小），因此与时移相对应\\
连续时间域的微分对应离散时间域的延时，Z域微分也域时移性质相对应
\end{quote}

\paragraph{共轭对称性}
当 $x[n]$ 为实信号时，$X(z) = X^*(z^*)$\\
则，$X(z)$ 的复数零点（极点）共轭成对出现

\paragraph{时移性质}
$$
\mathscr Z\big(x[n-n_0]) = z^{-n_0}\,X(z), \qquad z\in R
$$
对信号时移可能会改变其因果性，因此对收敛域中  $z=0$ 与 $z=\infty$ 点必须重新讨论是否收敛

\paragraph{Z域尺度变换}
Z 域尺度变换既可沿径向，也可沿角向（此时即为频移性质）

\paragraph{时域反转}
时域反转时，Z域关于单位圆倒置，且零极点互换
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{figures/Z变换的时域反转.png}
    \caption{Z变换的时域反转}
    \label{fig:Z变换的时域反转}
\end{figure}


\subsubsection{常用Z变换对}
常用 Z 变换对及其收敛域如下
\begin{align*}
    x[n] &= \delta[n] & 
    X(z) &= 1 & 
         &\forall z \\
    x[n] &= a^n\,u[n] &
    X(z) &= \frac{1}{1-az^{-1}} &
         & |z| > |a|\\
    x[n] &= -a^n\,u[-n-1] &
    X(z) &= \frac{1}{1-az^{-1}} &
         & |z| < |a|
\end{align*}

\subsection{用Z变换表征LTI系统}
\subsubsection{Z变换与LTI系统特性}
\paragraph{因果性}
若 LTI 系统是因果的，则 $H(z)$ 的收敛域是最外极点的外部，且包含 $|z| = \infty$

\begin{quote}
若 $H(z)$ 是有理的，则因果性要求：$H(z)$ 分子阶数不能高于分母阶数，否则无法保证收敛
\end{quote}

\paragraph{稳定性}
若 LTI 系统是稳定的，则
$$
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \big|h[n]\big| < \infty
$$
因此，稳定系统$h[n]$的DTFT存在，则 $H(z)$ 的收敛域包含单位圆

综上，因果稳定LTI系统的所有极点均在单位圆内部


\subsubsection{用差分方程描述的LTI系统}
与拉普拉斯变换完全相似，略

\subsubsection{系统互联}
级联、并联、反馈结构的系统函数\\
LTI系统的级联、并联结构




